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Reine de la chance, cette loi est la base des probabilités.

Introduction

Le test de la loi binomiale est le test de la chance par excellence qui est à l’origine des calculs probabilités. Elle est née en 1713 avec la publication de “ Ars conjectandi “, l’oeuvre posthume du Suisse Bâlois Jacob Bernoulli.

Le principe

Chaque tirage a la probabilité p d’être un succès et la probabilité q = 1 – p d’être un échec. Si la distribution suit la loi théorique binomiale, la probabilité de succès est écrite de la manière suivante :

P = nk × pk × qn-k
Avec :

  • n : Le nombre de tirage au total
  • k : Le nombre de succès que nous voulons voir parmi nos n tirages
  • P : La probabilité de succès
  • q : la probabilité d’échec
Called binomial coefficient « k among n » (norm ISO 31-11), it indicates the number of paths (p-Suites) possible to obtain the k successes among the n draws. It is calculated as follows :
n!k!×(n-k)!

Sa moyenne = n * p

Sa variance = n * P * (1 – p)

Probabilité d’un évènement

La loi binomiale est utilisée pour calculer la probabilité qu’un événement se produise dans le cas où :

  • l’ordre n’a pas d’importance.
  • A chaque tirage, nous remettons l’élément que nous venons de tirer.

Nous sommes donc dans le cas 2 du calcul de probabilités “sans order, avec remise“.

L’exemple le plus typique est le résultat du dé. Pour obtenir au moins 3 fois le nombre 6 lancers sur 4, notre probabilité de ce calcul est la suivante :

P = 43 × 163 × 564-3

Soit 1,54% de chance d’avoir notre succès. Résultat qui peut être trouvé dans Excel en utilisant la fonction binomiale : LOI.BINOMIALE (k;n;1/6;0).

Il convient de noter que plus notre population est grande (de N = 100), plus la loi binomiale se rapproche de la the Loi Hypergeométrique, d’où le fait que l’approximation est souvent faite, la loi binomiale étant plus facile à calculer à la fois à la main et à l’aide de tableurs.

Le test d’hypothèse

La loi binomiale peut également être utilisée pour savoir si un nombre d’événements correspond à sa probabilité “ à priori ” ou non. C’est généralement le cas lorsque l’on veut savoir si un dé est pipé . Nous savons que nous avons une probabilité de 1/6, l’enjeu de ce test sera alors en fonction de notre résultat réel obtenu, pour savoir si le dé est bien au norme ».

Etape 1 : les hypothèse

Le test binomial peut être un test bilatéral ou unilatéral. Si nous posons p la valeur théorique de p, nous avons les hypothèses suivantes :

bilatéral

  • H0 : p = p0
  • H1 : p ≠ p0

Unilatéral gauche

  • H0 : p ≠ p0
  • H1 : p < p0

Unilateral droit

  • H0 : p ≠ p0
  • H1 : p > p0

Etape 2: calculer la valeur pratique

La valeur pratique est simplement notre pourcentage observé de succès.

Etape 3: Calculer la valeur critique

La valeur critique dépendra de la direction du test. Il faut donc calculer de la manière suivante pour prendre en compte le risque :

  • bilatéral : α/2 et 1 – α/2
  • Unilatéral gauche : α
  • Unilatéral droit : 1 – α

 

La fonction Excel est LOI.BINOMIALE.INV.N.

Etape 4 : Calculer la p-value

Pour p-Value, nous utilisons l’approximation de la distribution binomiale, qui sera la même quelle que soit la signification du test. Dans Excel, la fonction est LOI.BINOMIALE.

Etape 5: Interprétation

Interprétation Valeur pratique / valeur critique

Sens du testRésultatConclusion statistiqueConclusion pratique
BilatéralValeur pratique > + Valeur critique ou Valeur pratique < - Valeur critiqueOn rejette H0Nos données ne suivent pas la loi Binomiale
Unilatéral droitValeur pratique > Valeur critiqueOn rejette H0Nos données sont au dessus de la loi Binomiale
Unilatéral gaucheValeur pratique < Valeur critiqueOn rejette H0Nos données sont en dessous de la loi Binomiale

Interprétation p-value

RésultatConclusion statistiqueConclusion pratique
p-value > αOn retient H0Nos données suivent la loi Binomiale
p-Value est ≤ αOn rejette H0Nos données ne suivent pas la loi Binomiale.
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