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Très complexe à calculer, cette loi est utilisé pour calculer la probabilité lorsque nous avons un tirage sans remise (un cas très courant, exemple des contrôles qualités).

Introduction

La loi hypergéométrique décrit les situations où l’ordre d’apparition des succès n’a pas d’importance et où nous ne remettons pas pour le prochain tirage l’élément que nous venons de piocher. C’est dans la grande majorité des cas des contrôles qualités où dans en cours de production nous « piochons » des pièces pour vérifier leur qualité. Dans ce contexte, nous ne remettrons pas la pièce que nous venons de vérifier. On utilisera alors la loi Hypergéométrique pour identifier notre « chance » de voir le défaut que nous cherchons.

Le principe

La loi Hypergéométrique fait intervenir dans son calcul la taille de l’échantillon n et la population de référence N. Sa formule étant complexe, on lui préférera le calcul via la loi binomiale lorsque la population N est grande (à partir de 100), d’autant qu’elle impose de connaître la taille N de la population, ce qui n’est pas toujours le cas. Elle est définie de la manière suivante :

Cette fonction a :

Une moyenne de :

Une variance de :

Probabilité d’un événement

Nous sommes dans le cas où l’ordre n’a pas d’importance et il n’y a pas de remise. Il s’agit du cas n°4 du calcul des probabilités. L’exemple le plus parlant est celui du loto. Prenons la première partie du tirage où nous avons 5 chiffres n qui sont tirés parmi une population N de 49. La loi Hypergéométrique permet de calculer notre probabilité d’avoir les 5 chiffres k gagnants.

En suivant le détail des calcules données dans l’article des probabilités, nous trouvons 1906884 combinaisons, soit si l’on joue une fois, 1 chance sur 1906884.

Chiffre que nous retrouvons sur Excel via la formule : Loi.Hypergéométrique.N (5;5;5;49;FAUX)

Le test d’hypothèse

La loi hypergéométrique peut également être utilisée pour savoir si une quantité d’événements répond à sa probabilité à priori ou non. C’est typiquement le cas lorsque l’on souhaite savoir si la parité est présente dans une entreprise. On souhaite que notre probabilité soit de 1/2, l’enjeu de ce test sera alors en fonction de notre résultat réel obtenu, de savoir si au risque désiré, nous sommes bien dans notre souhait.

Etape 1 : les hypothèses

Le test Hypergéométrique peut être un test bilatéral ou unilatéral. On pose les hypothèses suivantes :

Cas bilatéral

  • H0 : p = p0
  • H1 : p ≠ p0

Cas unilatéral gauche

  • H0 : p ≠ p0
  • H1 : p < p0

Cas unilatéral droite

  • H0 : p ≠ p0
  • H1 : p > p0

Etape 2 : calculer la valeur pratique

Notre valeur pratique est simplement le pourcentage observé de Succès.

Etape 3 : calculer la valeur critique

Avec la loi hypergéométrique, Excel ne permet pas de calculer l’inverse de la loi Hypergéométrique et nous devons alors y aller « à tâtons » et comparer notre valeur du risque α avec notre probabilité cumulée.

On calcule la valeur du risque α pour la valeur que nous souhaitons « comparer » avec notre valeur réel.

Pour la calculer, on utilise la formule Excel :

Probabilité d’apparition : P = Loi.Hypergéométrique.N (k ; n ; M ; N ; Faux)

Etape 4 : interprétation

Sens du testRésultatConclusion statistiqueConclusion pratique
BilatéralPour la borne inférieure : le nombre de succès réel < La valeur calculé pour α / 2

ou

Pour la borne supérieure : le nombre de succès réel > La valeur calculé pour 1 - α / 2
On rejette H0Nos données ne suivent pas la probabilité à priori.
Unilatéral gaucheLa valeur réelle de notre test est < Valeur calculé pour un risque calculé à αOn rejette H0Nos données sont en dessous de la probabilité à priori.
Unilatéral droitLa valeur réelle de notre test est > Valeur calculé pour un risque calculé à 1 - αOn rejette H0Nos données sont au dessus de la probabilité initiale.
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