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Sur la base de l’épreuve de Bernoulli, les probabilités permettent d’évaluer notre “chance” qu’un événement apparaisse dans notre contexte de calcul.

Introduction

Sur la base de l’épreuve de Bernoulli, les probabilités permettent d’évaluer notre “chance” qu’un événement apparaisse dans notre contexte de calcul. Le principe de l’épreuve consiste à scinder notre population en deux phases : Pile / Face, Bon / pas Bon, Homme / Femme, 1/6 contre 5/6 qui est notre chance d’obtenir un 1 pour un lancé de dé… Elle est née en 1713 avec la publication de “Ars conjectandi“, l’ouvrage posthume du Suisse Bâlois Jacob Bernouilli.

On appelle schéma de Bernoulli le fait de répéter n fois et de manière indépendante cette même épreuve. Ci-dessous, un exemple de schéma de Bernoulli pour n = 4.

Le principe

Le principe de calcul d’une probabilité est simple. Il consiste à calculer le rapport entre notre nombre de chemins gagnants et notre nombre de chemins possibles :

Méthode de calcul

La méthode consiste à calculer notre nombre de chemins gagnants et le nombre de chemins possibles. Ce calcul dépend du cas dans lequel nous sommes.

 

Avec ordre

Sans ordre

Avec remise

Cas 1

Cas 2

Sans remise

Cas 3

Cas 4

  • Avec Ordre : Cela indique que nous tenons compte de l’ordre d’apparition des événements. Ainsi 123 est différent de 321. Et inversement.
  • Avec Remise : Cela indique qu’à chaque tirage, l’événement précédent peut apparaître à nouveau. Ainsi, on peut avoir 111. Et inversement.

Quelques définitions

  • n : Le nombre de tirage que nous faisons. Exemple, à l’Euromillions, nous avons un premier tirage de 5 boules, puis un tirage de 2 boules. Nous aurons n = 5 pour le premier cas et n = 2 pour le second.
  • k : Le nombre de succès que l’on veut avoir parmi nos n tirages. A l’euromillions, nous rêvons d’avoir les 5 boules gagnantes et les 2 complémentaires également. On aura k = 5 pour le premier cas et 2 pour le suivant.
  • N : Le nombre de possibilité que nous avons pour le premier tirage. Par exemple, pour un lancé d’un dé 6, nous avons 6 possibilités au premier tirage.
  • M : Le nombre d’éléments gagnants dans laquelle nous faisons le tirage. Par exemple, si nous voulons évaluer notre probabilité de piocher une boule noire dans une urne contenant 5 boules noires et 10 boules blanches, alors M sera de 5.

Cas 1 : Avec ordre et avec remise

Pour chaque tirage, toutes les alternatives sont possibles (on remet la boule à chaque tirage) et l’ordre d’obtention des chiffres a son importance. Cela veut dire que 123 et 231 ne sont pas pareils et qu’on peut avoir 113. On appelle cela une p-listes.

Nombre de p-Listes possible : Nn

Le nombre de chemins gagnants est quand à lui égal au nombre de fois que nous allons faire de tentative pour arriver à réussir. Exemple

Nous souhaitons identifier le nombre de combinaisons possibles pour le code PIN de votre téléphone. Ce code est à 4 chiffres, et pour chaque chiffre nous pouvons avoir les 10 nombres. Nous sommes donc dans un cas avec remise, puis les 10 nombres peuvent être utilisés pour chaque chiffre. Le nombre de possibilité de code est donc de 104 = 10 000, soit 1 chance sur 10 000. Si nous considérons que nous avons 3 tentatives avant de bloquer notre téléphone, nous avons donc 3/10000 chances.

Cas 2 : Sans ordre et avec remise

Dans ce cas, l’ordre d’apparition n’a pas d’importance et toutes les possibilités sont ouvertes à chaque tirage. On peut avoir 111,222… et avoir 112. Il s’agit du cas où nous allons utiliser la loi Binomiale. On appelle cela une p-Suites et on utilise la Loi Binomiale pour effectuer le calcul.

Nb de p-suites gagnantes

Nb de p-suites possibles

On effectue 4 lancés d’un dé bien équilibré. on souhaite savoir quelle est notre probabilité d’obtenir 3 fois le nombre 6. Nous obtenons le résultat suivant :

Probabilité = 4 / 259 soit 1,54% de chance d’obtenir 3 fois notre nombre de 6.

Cas 3 : Avec ordre et sans remise

Si le premier chiffre est un 1, le second peut être un 2 ou un 3, soit le nombre de possibilités du départ – 1 puisqu’on ne peut choisir 2 fois le même chiffre. Ce cas est appelé un Arrangement.

Le nombre de chemins gagnants est quand à lui égal au nombre de fois que nous allons faire de tentative pour arriver à réussir.

Nb d’arrangements possibles

Prenons l’exemple du tiercé. L’enjeu est de calculer notre probabilité d’avoir le bon classement 3 chevaux parmi 24. L’ordre est nécessairement important et le cheval qui est en première position ne peut être en seconde en même temps. Nous voulons optimiser nos chances de gagner et nous prenons 3 “grilles“. Nous obtenons : 12144 arrangements possibles Soit 3/12144 chances de gagner

Cas 4 : Sans ordre et sans remise

Nous sommes dans le cas de la plupart des jeux de hasard, comme le loto par exemple. Dans ce cas, on reprend le nombre de possibilité du cas 2 que l’on divise par le nombre de tirage. Ce cas est appelé une Combinaison, et on utilise la loi Hypergéométrique pour effectuer le calcul. Le nombre de combinaisons gagnante est :

Nb de combinaisons gagnantes

Nb de combinaisons possibles

Au loto, nous avons 5 chiffres. Sachant que nous avons le choix avec 49 possibilités pour les 5 chiffres sans remise, nous avons donc 1 906 884 combinaisons possibles.

Si l’on prend le numéro chance, 1 numéro ayant 10 possibilités, on aura donc 19 068 840 combinaisons.

Calcul de probabilité dans des cas spécifiques

NomDescriptionExemple
Probabilité conditionnelleNotons A et B deux évènements. La probabilité que B se réalise alors que A a déjà été réalisé est noté P(A I B) et appelé la probabilité conditionnelle de B. On utilisera alors le théorème de Bayes :
On lance un dé équilibré. La probabilité d’avoir un nombre pair (A) et supérieur ou égal à 4 (B) est :

P(A) = ½

P(B) = 3/6

P(AIB)=12x2612x26+12x16=23
Probabilité indépendanteA contrario, si la réalisation de E2 n’est pas conditionné par E1, alors ont les appellent des évènements indépendant.-
Probabilité complémentaireCe sont des évènements pour lesquelles si l’un se produit, alors l’autre ne peut se produire.L’évènement de A, Obtenir un nombre pair, est le complémentaire de B, Obtenir un nombre impair.
Evènement incompatibleEgalement appelé mutuellement exclusif, ce sont deux évènements qui ne peuvent se produire en même temps. Autrement dit = 0Par exemple, c’est le cas d’un lancé de dé. Si mon évènement A est d’avoir un 1 et B avoir un 6, alors A est incompatible avec B.

Les règles de fonctionnement

 DescriptionFormuleExemple
ComplémentOn souhaite calculer la non apparition de l’événement AP(non A) = 1 – P(A)Dans un jeu de 52 cartes, la probabilité de ne pas avoir un cœur est :

1 – ¼ = 75%
AdditionOn souhaite calculer la probabilité d’apparition de l’événement A OU B.Nos événements sont incompatibles :

P (A ou B) = P(A) + P(B)
Dans un jeu de 52 cartes, la probabilité d’avoir un cœur ou un trèfle est de :

13/52 + 13/52 = 50%
Nos événements sont compatibles :

P (A ou B) = P(A) + P(B) – P(A et B)
Dans un jeu de 52 cartes, la probabilité d’avoir un as ou un cœur est de :

4/52 + 13/52 – (4/52 * 13/52) = 30,8%
MultiplicationOn souhaite calculer la probabilité d’apparition de l’événement A ET BNos évènements sont indépendants

P(A et B) = P(A) * P(B)
En tirant 2 cartes l’une après l’autre et avec remise dans un jeu de 52, la probabilité d’avoir 2 cœurs est :

(13/52) * (13/52) = 6,25%
Nos événements sont dépendants

P(A et B) = P(A) * P(B I A)



P(B I A) = P(A et B)/P(A)
En tirant 2 cartes l’une après l’autre et sans remise dans un jeu de 52, la probabilité d’avoir 2 cœurs est :

(13/52) * (12/51) = 5,88%
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