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Le test de Brown Forsythe est le meilleur test pour comparer la variance de 2 ou plusieurs échantillons.

Introduction

Publié en 1974 suite aux travaux de Morton B. Brown et Alan B. Forsythe, le test de Brown-Forsythe est une approche paramétrique permettant de tester l’égalité des Variances de 2 échantillons ou plus. Il est le meilleur test pour comparer des Variances, beaucoup plus robuste que le test de Fisher1. Il présente l’intérêt d’être peu sensible à la non normalité des données.

Le principe

Ce test est une généralisation du test de Levene. Il repose sur le rapport des variances. Mais pour augmenter la robustesse du test, il les transforme en passant par la médiane. L’idée est ainsi de pouvoir mieux lisser les valeurs en évitant d’être trop dépendant des valeurs extrêmes qui « flouent » les résultats.

Etape 1 : Les hypothèses

Le test de Brown Forsythe compare la Variance de 2 ou plus sous population. Il confronte les deux hypothèses suivantes :

H0 : σ12 = σ22 = … = σk2

H1 : σ12 ≠ σ22 ≠ … ≠ σk2

Etape 2 : Transformer les variables

La première étape de ce test est de transformer les variables pour les rendre plus robustes. On les transforme avec la formule suivante :

x’ik = I xik – xk I

  • x’ik : Chacune des valeurs transformées de l’ensemble de nos échantillons
  • xik : chacune des valeurs « originales » de l’ensemble de nos échantillons
  • xk : la médiane de l’échantillon k

Etape 3 : Valeur pratique

La valeur pratique ressemble un peu à celle de l’ANOVA. On effectue le rapport entre les carrés moyens expliqués et les carrés moyens résiduels sur la valeur transformée. On calcule la valeur pratique selon la formule :

 

  • nk : le nombre d’individu du k échantillon
  • n : le nombre d’individu au total
  • k : le nombre d’échantillon
  • μk : moyenne des valeurs transformées du k échantillon
  • μ : la moyenne de l’ensemble des valeurs transformées des échantillons
  • xk : Chacune des valeurs transformées de l’échantillons k

Etape 4 : Valeur critique

La valeur critique suit une loi de Fisher Snedecor. On notera qu’au regard de l’hypothèse, on effectue toujours un test bilatéral puisque nous comparons plus de 2 échantillons.

  • ddl1 : k – 1, k étant le nombre d’échantillons.
  • ddl2 : n – k, n étant le nombre d’individus au total.

On la calcule soit avec la table de Fisher, soit avec le tableur Excel via la formule :

Valeur critique = INVERSE.LOI.F.N(1 – α; ddl1 ; ddl2)

Etape 5 : p-Value

La p-Value suit également une loi de Fisher. On la calcule sous Excel via la formule :

p-Value = LOI.F.(Valeur pratique ; ddl1 ; ddl2)

Etape 6 : Interprétation

RésultatConclusion statistiqueConclusion pratique
Valeur pratique < Valeur critiqueOn retient H0Il n’y a pas de différence significative entre les différents échantillons au risque α
Valeur pratique > Valeur critiqueOn rejette H0Il y a une différence significative entre les différents échantillons au risque α
RésultatConclusion statistiqueConclusion pratique
p-value > αOn retient H0Il n’y a pas de différence entre les échantillons avec un risque de se tromper de p-value%
p-Value est ≤ αOn rejette H0Il y a une différence entre les échantillons avec un risque de se tromper de p-value%
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