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Le Q de Cochran est une généralisation du test de McNemar et permet de traiter plus de 2 séries de données appariées.

Introduction

William Gemmel Cochran est un statisticien Ecossais né en 1909. C’est en travaillant sur le rendement des terres agricoles qu’il développa le test du Q de Cochran1.

Le Q de Cochran est une généralisation du test de McNemar permettant de traiter plus de 2 séries de données appariées. C’est le cas par exemple lorsque l’on met en place des plans d’expériences sur les mêmes échantillons.

 

Le principe

On veut comparer l’apparition d’un événement à plusieurs moments différents sur une même population de n individus :

  1. Oon effectue une mesure du nombre d’apparition de l’événement recherché.
  2. On refait cette mesure sur ces mêmes individus pour comparer les résultats.
  3. On re-refait cette mesure…

Individu

Mesure 1

Mesure 2

Mesure k

Somme

1

n1

2

n2

Individu n

nn

Somme

S1

S2

Sk

Sn

Etape 1 – Les hypothèses

π est la probabilité d’apparition de notre événement. Les hypothèses de test sont :

H0 : π1 = … = πk : les probabilités de l’évènement sont identiques sur toutes les mesures

H1 : Au moins une mesure diffère des autres

Etape 2 – Valeur pratique

La statistique de test consiste à mesurer le niveau de variabilité qu’il y a entre les résultats des différents essais. Ainsi, au plus cette variabilité sera grande, au plus on pourra conclure que le test est significatif. La statistique est la suivante :

Etape 3 – Valeur critique

La valeur pratique est comparée à la valeur critique que nous renvoie la loi de distribution du χ2 à K – 1 degré de liberté.

Soit on la détermine en recherchant directement dans la table du χ2, soit via le tableur Excel avec la fonction : KHIDEUX.INVERSE (risque α ; ddl).

Au regard du fait que nous comparons plus de 2 échantillons, il n’y a d’intérêt que de faire un test bilatéral.

Etape 4 – La p-Value

La p-Value du test permet de conclure définitivement sur le modèle. Elle suit une loi du χ2 et se calcule sous Excel via la formule :

LOI.KHIDEUX (Valeur pratique ; ddl)

Etape 5 – Interprétation

RésultatConclusion statistiqueConclusion pratique
Valeur pratique ≥ Valeur critiqueOn rejette H0Au moins une de nos séries de valeurs est statistiquement différente des autres au niveau de risque α donné.
Valeur pratique < Valeur critiqueOn retient H0Nos séries de valeurs sont statistiquement identiques ou proches au niveau de risque α donné.
RésultatConclusion statistiqueConclusion pratique
p-value > αOn retient H0Nos séries de données sont identiques ou proches au risque de se tromper de p-value%
p-Value < αOn rejette H0Au moins 1 de nos 2 séries de données est statistiquement différente des autres au risque de se tromper de p-value%

Source

1 – F. Yates (1982) – Obtituary : William Gemmell Cochran, 1909, 1980

R. Rakotomalala (2008) – Comparaison de populations

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