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Le Rho de Spearman permet de détecter une corrélation ou non entre variable.

Introduction

Appelé coefficient de corrélation des rangs de Spearman, noté ρ, il est une mesure de corrélation non paramétrique. Il sert à déterminer une relation qui existe entre 2 séries de données. Il s’utilise pour des données quantitatives ou ordinales.

C’est Charles Spearman, un psychologue Anglais, qui l’a développé en 1904 dans le cadre d’étude sur les paramètres permettant d’améliorer les performances sur diverses tâches intellectuelles.

Le principe

Fondamentalement, le coefficient de Spearman est un cas particulier du coefficient de Pearson. Pour chaque valeur de nos 2 variables, on lui attribue un rang. On calcule ensuite la différence des rangs entre les rangs d’un même couple de valeur. Puis on effectue le rapport avec notre nombre de paires de valeur.

Etape 1 : les hypothèses

Le Rho de Spearman est un test bilatéral ou unilatéral. Les hypothèses sont :

Pour un cas bilatéral :

  • H0 : les X et Y sont mutuellement indépendants, il n’y a pas de corrélation.
  • H1 : les X et Y sont dépendants, il y a une corrélation.

Pour un cas unilatéral droit :

  • H0 : les X et Y sont mutuellement indépendants, il n’y a pas de corrélation.
  • H1 : les X et Y sont dépendants, il y a une corrélation positive.

Pour un cas unilatéral gauche :

  • H0 : les X et Y sont mutuellement indépendants, il n’y a pas de corrélation.
  • H1 : les X et Y sont dépendants, il y a une corrélation négative.

Etape 2 : Identifier les rangs

Pour chacune des 2 séries de valeurs, on détermine leur rang respectif dans sa série. Ainsi, le plus petit chiffre de la série aura le rang de 1 jusqu’à la plus grande valeur qui aura alors le rang le plus élevé.

Etape 3 : Prendre en compte les Ex-Aequo

Dans certain cas, il y a plusieurs valeurs identiques et donc ayant le même rang. Pour elle, On prend le rang moyen à laquelle elle devrait être. Par exemple :

  • Si deux valeurs sont égales et devraient avoir le rang 4 et 5, alors on leur donnera le rang de 4.5, la valeur inférieure de 3 et celle supérieure la valeur de 6.
  • Si 3 valeurs sont égales et devraient avoir les rangs 4, 5 et 6, alors on leur donnera le rang de 5. 

Etape 4 : Calculer nos écarts

Dans son principe, le Rho de Spearman consiste à comparer la différence des rangs. Pour chaque paire, on calcule cette différence :

D2 = (Rang X1 – Rang X2)2

Etape 5 : Calcul du Rho de Spearman

Enfin, on calcule la valeur du Rho de Spearman. On retrouve 2 versions en fonction du fait que nous ayons des ex-aequo ou non. Ainsi :

Dans le cas où il n’y a pas de doublon

Dans le cas où il y a des doublons

n : Taille de l’échantillon

ΣD2: Somme des différences au carrée

Plus le Rho tend vers 1 ou -1, au plus il y a une corrélation. On considère qu’entre 0.7 et 1, nous avons une corrélation positive. Entre -0.7 et -1, nous avons une corrélation négative.

Etape 6 : Calcul de la valeur pratique

Le calcul de la valeur pratique dépend du nombre de paire de valeur que nous avons. Ainsi :

Etape 7 : Calcul de la valeur critique

La valeur critique dépend aussi du nombre de paires de valeurs :

  • n ≤ 10 : On utilisera la table exacte de Spearman
  • 10 < n ≤ 30 : On utilisera la loi de Student pour n – 2 ddl
  • n > 30 : On utilisera la loi Normale

Etape 8 : Calcul de la p-Value

La p-Value dépend également du nombre de paires de variables que nous avons :

  • n ≤ 10 : Il n’est pas possible de calculer une p-Value, n’ayant assez de données pour être suffisamment robuste
  • 10 < n ≤ 30 : La p-Value suit une loi de Student à 2 degrés de liberté
  • n > 30 : la p-Value suit une loi Normale

Etape 9 : Interprétation

Sens du testRésultatConclusion statistiqueConclusion pratique
BilatéralValeur pratique ≤ Valeur critique et Valeur pratique ≥ - Valeur critiqueOn retient H0Il n'y a pas de corrélation entre les 2 échantillons
Valeur pratique ≥ Valeur critique et Valeur pratique ≤ - Valeur critiqueOn rejette H0Il y a une corrélation entre les 2 échantillons
Unilatéral droitValeur pratique ≤ Valeur critiqueOn retient H0Il n'y a pas de corrélation positive
Valeur pratique ≥ Valeur critiqueOn rejette H0Il y a une corrélation positive entre les 2 échantillons
Unilatéral gaucheValeur pratique ≥ Valeur critiqueOn retient H0Il n'y a pas de corrélation négative
Valeur pratique ≤ Valeur critiqueOn rejette H0Il y a une corrélation négative entre les 2 échantillons
RésultatConclusion statistiqueConclusion pratique
p-value > αOn retient H0On conclue que nos 2 séries de données n’ont pas de corrélation avec un risque de se tromper de p-value%
p-Value < αOn rejette H0Nos 2 séries de données ont une corrélation avec un risque de se tromper de p-value%
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