[Total : 1    Moyenne : 5/5]

Le test de Fisher-Snedecor permet de comparer la variance de 2 échantillons.

Introduction

Créé en 1920 grâce aux travaux de Ronald Aylmer Fisher (biologiste et mathématicien britannique) et basé sur la table de distribution de George Waddel Snedecor (Statisticien américain), le test de Fisher Snedecor est une approche paramétrique pour étudier l’égalité des variances de 2 échantillons.

Ce test de variance est est une bonne alternative au test du Chi2 lorsque les échantillons sont petits (moins de 30 individus).

On notera que ce test n’est pas robuste et qu’il est très sensible au respect de la normalité des données. Ainsi, on lui préfèrera le test de Brown Forsythe.

Détail sur la loi de Fisher

Le principe de cette loi repose sur la représentation de la division de la variances de variables, autrement dit, de diviser une loi du Chi2 par une autre loi du Chi2.

Elle permet de calculer le rapport entre un Signal et un Bruit (à l’origine du second nom de la loi de Fischer Snedecor : le ratio signal/bruit). D’où le fait qu’on l’utilise pour des comparaisons de variance (ANOVA, test de Fisher…).

Le test de Fisher compare la Variance de 2 sous populations. Il confronte les deux hypothèses suivantes :

H0 : σ12 = σ22

H1 : σ12 ≠ σ22

Etape 2 : Valeur pratique

La valeur pratique repose sur le rapport des 2 variances que l’on compare. On considère que si ce rapport est très différent de 1, alors les Variances sont différentes. On notera simplement que S1 > S2, car le rapport doit forcément être > 1.

Deux cas de calcul se présente.

On connaît la Variance de la population

Dans ce cas, le plus simple mais aussi le plus rare en pratique, on effectue simplement le rapport des Variances.

On ne connaît pas la Variance de la population

Cas le plus courant en pratique, on effectue nos calculs sur la base de l’échantillon que nous avons fait, mais sans connaître la Variance de la population*.

*On les estime de manière ponctuelle via la formule :

Etape 3 : Valeur critique

La valeur critique suit une loi de Fisher-Snedecor, et se calcule de la manière suivante :

  • ddl1 = Taille de l’échantillon ayant la variance la plus grande – 1
  • ddl2 = Taille de l’échantillon ayant la variance la plus petite – 1
  • Niveau de risque : Celui-ci dépend du sens du test. Pour un test bilatéral, nous aurons 1-α/2 et α/2, pour un test unilatéral droit, nous aurons 1 – α et pour un unilatéral gauche α.

On identifie la valeur soit avec la table de Fisher, soit avec le tableur Excel via la formule : INVERSE.LOI.F.(probabilité; n1 – 1; n2 – 1)

Etape 4 : p-Value

La p-Value suit une loi de Fisher-Snedecor et se calcule sous excel via la formule :

LOI.F.(Valeur pratique ; ddl1; ddl2)

Etape 5 : Interprétation

Sens du testRésultatConclusion statistiqueConclusion pratique
BilatéralValeur pratique > Valeur critique α/2
et
Valeur pratique < Valeur critique 1 - α/2
On rejette H0Les 2 échantillons sont différents au niveau de risque α donné.
Unilatéral droitValeur pratique > Valeur critique 1 - αOn rejette H0L'échantillon avec la variabilité la plus grande présente un écart significatif au niveau de risque α donné.
Unilatéral gaucheValeur pratique < Valeur critique αOn rejette H0L'échantillon avec la variabilité la plus petite présente un écart significatif au niveau de risque α donné.
RésultatConclusion statistiqueConclusion pratique
p-value > αOn retient H0Nos 2 séries de données sont identiques ou proches avec un risque de se tromper de p-value%
p-Value < αOn rejette H0Nos 2 séries de données sont statistiquement différentes avec un risque de se tromper de p-value%

Source

F. Dress (2007) – Les probabilités et la statistique

A. Grous (2013) – Eléments d’analyse de la fiabilité et du contrôle qualité

M. E. Tremblay, P. Avallée, M. El Haj Tirari (2011) – Pratiques et méthodes de sondage

Share This