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Le test de Shapiro Wilk est performant pour valider la normalité lorsque nous en avons moins de 50 données. 

Introduction

Ce test très populaire de part sa simplicité a été publiée en 1965 par Samuel Shapiro et Martin Wilk (Statisticien canadien)1. Il est particulièrement efficace pour les échantillons de moins de 50 observations2.

Le principe

La statistique de test n’est autre que le carré du coefficient de corrélation entre la série de quantiles générées à partir de la loi normale et les quantiles empiriques obtenues à partir des données. Par conséquent, plus se rapport est proche de 1 et plus nos données suivent une loi normale.

Etape 1 : les hypothèses

Nous posons les hypothèses suivantes :

  • H0 : Nos données suivent une loi normale
  • H1 : Nos données ne suivent pas une loi normale

Etape 2 : calculer la valeur pratique

Le calcul de la valeur pratique se fait en plusieurs étapes que nous décrivons ci-dessous.

  1. Classer les n observations par ordre de grandeur croissante
  2. Calculer les différences entre x(n-i+1) – xi
  3. Lire dans la table spécifique de Shapiro Wilk les coefficients a relatifs à chaque valeur.
  4. Calculer alors le numérateur b2 = (Σ(ai * di))2
  5. Calculer ensuite le dénominateur Z2 = Σ(xi – xbarre)2
  6. Enfin, calculer la valeur pratique W qui représente le rapport entre b2 et Z2

Etape 3 : calculer la valeur critique

La valeur critique de Shapiro Wilk est donnée dans les tables exactes de Shapiro Wilk pour un risque α donné et un nombre d’observations n relatif à notre situation.

Etape 4 : interprétation

Au regard de nos hypothèses initiales, l’interprétation du test est la suivante :

RésultatConclusion statistiqueConclusion pratique
Valeur pratique ≥ Valeur critiqueOn retient H0Nos données suivent la loi normale au niveau de risque α donné.
Valeur pratique < Valeur critiqueOn rejette H0Nos données ne suivent pas la loi normale au niveau de risque α donné.

Source

1 – S. Shapiro, M. Wilk (1965) – An analysis of variance test for noamlity

2 – R. Rakotomalala (2011) – Test de normalité

Norme NF X 06-050 (1995) – Etude de la normalité d’une distribution

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