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La carte Cusum est encore plus performante que la carte EWMA mais sa mise en œuvre et son interprétation sont plus complexes. Son utilisation est donc à réserver à des cas bien particuliers où la précision est essentielle.

Introduction

La carte Cusum (Cumulative Sum traduit par carte des Sommes Cumulées) a été développée en 1954 par E. S. Page1. Elle va « cumuler » l’écart type de chaque prélèvement. Elle est utilisée dans diverses industries, spécialement en industrie chimique, et a été améliorée au fur et à mesure du temps pour augmenter sa sensibilité2. Elle est, au même titre que la carte EWMA, particulièrement adaptée pour la recherche de dérives faibles et lentes, donc principalement pour des processus continus.

La carte Cusum est encore plus performante que la carte EWMA mais sa mise en œuvre et son interprétation sont plus complexes. Son utilisation est donc à réserver à des cas bien particuliers où la précision est essentielle.

Le principe de la carte Cusum est, au même titre que la EWMA, de tenir compte des dérives antérieures, mêmes minimes. Elle somme le cumul par rapport à la cible. Si le procédé s’éloigne, le cumul des écarts va augmenter et dépasser une limite. On va suivre simultanément 2 courbes :

  • La courbe SHi : elle sert à détecter un décalage du côté positif de la cible.
  • La courbe SLi : elle sert à détecter un décalage du côté négatif de la cible.

Carte CUSUM aux mesures et aux attributs

La carte CUSUM s’adapte aussi bien pour des mesures quantitatives que pour des proportions de non conformes. L’ensemble des formules ci-dessous présentées sont écrites pour les mesures. Pour une carte aux attributs, il suffira de remplacer le terme de moyenne par la proportion, les formules restant les mêmes.

1 – Choisir les paramètres de sensibilité de la carte

La première étape de cette méthode si particulière consiste à identifier les paramètres k et h qui sont liés à la sensibilité de la carte :

  • k : Le paramètre de sensibilité k est une pénalité imposée de façon à restreindre le nombre de fausses alertes. Cette constante est fonction de l’importance de l’écart que l’on souhaite détecter. Plus k est petit, plus on décèle de faibles dérives mais plus on augmente le risque de fausses alertes.
  • h : le paramètre h représente les limites de contrôles.

Le tableau ci-dessous (norme NF-X06-031-4), nous donne en fonction du niveau de précision que nous souhaitons, la valeur de nos paramètres.

 Nombre d'échantillons pour une fausse alarme
Déréglage

δ * √n
1003705001000
0,5k = 0,25

h = 5,6

POM1 = 19,3
k = 0,25

h = 8,01

POM1 = 28,8
k = 0,25

h = 8,585

POM1 = 31,1
k = 0,25

h = 9,93

POM1 = 36,4
0,75k = 0,375

h = 4,33

POM1 = 19,3
k = 0,375

h = 6

POM1 = 19,3
k = 0,375

h = 6,39

POM1 = 16,6
k = 0,375

h = 7,3

POM1 = 19,1
1k = 0,5

h = 3,502

POM1 = 7,4
k = 0,5

h = 4,77

POM1 = 9,9
k = 0,5

h = 5,07

POM1 = 10,5
k = 0,5

h = 5,758

POM1 = 11,9
1,5k = 0,75

h = 2,48

POM1 = 4
k = 0,75

h = 3,34

POM1 = 5,2
k = 0,75

h = 3,54

POM1 = 5,4
k = 0,75

h = 4

POM1 = 6,1
2k = 1

h = 1,874

POM1 = 2,6
k = 1

h = 2,516

POM1 = 3,3
k = 1

h = 2,665

POM1 = 3,4
k = 1

h = 3,01

POM1 = 3,8
2,5k = 1,25

h = 1,46

POM1 = 1,87
k = 1,25

h = 1,986

POM1 = 2,29
k = 1,25

h = 2,105

POM1 = 2,39
k = 1,25

h = 2,379

POM1 = 2,61
3k = 1,5

h = 1,132

POM1 = 1,44
k = 1,5

h = 1,604

POM1 = 1,72
k = 1,5

h = 1,708

POM1 = 1,79
k = 1,5

h = 1,943

POM1 = 1,95

Utilisation du tableau

On souhaite avoir au maximum une fausse alarme tous les 500 échantillons. On souhaite également détecter un déréglage de ± 1 écart-type en 3 ou 4 échantillons maximums. Pour cela :

  1. On choisit dans le tableau la colonne ayant une POM0 (Périodes Opérationnelles Maîtrisées) de 500.
  2. Dans cette colonne, on cherche une valeur POM1 (Périodes Opérationnelles non Maîtrisées) qui se rapproche le plus de 3 ou 4. On trouve une cellule avec 3,4.
  3. On identifie alors nos valeurs k = 1 et h = 2,665.
  4. En effectuant le chemin inverse, on déduit que n est de 2,56, on prend donc 3.

2 – Déduire les points

On calcule les différents points des 2 courbes que nous allons suivre. De part son principe, la valeur centrale de carte est toujours de 0. Les formules respectives des deux courbes sont les suivantes :

SHi = Max(0;Xibarre – (cible + K) + SHi-1)

SLi = Min(0;(cible – K) – Xibarre + SLi-1)

Avec :

  • xibarre : moyenne des données de nos échantillons.
  • K = k * σ
  • H = h * σ
  • n : le nombre de données par échantillon.
  • σ : Ecart type de l’ensemble de nos données.

3 – Calculer les limites de contrôles

Les limites de contrôles sont dépendantes du niveau de précision h que nous avons déterminé ci-dessus. La formule est la suivante :

UCL = h

LCL = -h

4 – Interprétation

L’interprétation est la même que pour la carte EWMA. Ainsi, si un point sort de la limite haute ou basse, il faut agir pour recentrer le processus.

De la même manière, il faudra en cas de recentrage reprendre à 0 la carte de contrôle.

Enfin, si la carte CUSUM est très performante pour détecter des dérives lentes, elle l’est en revanche moins que la carte de SHEWHART pour détecter des dérives rapides. L’idéal consiste donc à utiliser l’ensemble des trois cartes : CUSUM, moyenne Xbarre (ou valeurs individuelles I) et étendues R.

Source

1 – E.S. Page (1954) – Continuous inspection schemes

2 – J. M. Lucas, R. B. Crosier (1982) – Fast initial response for Cusum quality control schemes

D. M. Hawkins, D. H. Olwell (1998) – Cumulative sum charts and charting for quality improvement

A. Rose (2005) – Appliquer la maîtrise statistique des procédés à la fabrication de comprimes en pellicules.

A. Grous (2013) – Contrôle de qualité appliquée

D. Duret (2008) – Qualité de la mesure en production

Norme NF X 06-031-4

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