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La carte Xbarre-R est le pendant de la carte I-mR lorsque nous avons des sous-groupes.

Introduction

On la nomme aussi « graphique moyenne et étendue ». Elle représente notre paramètre vis-à-vis de sa moyenne et de son étendu. On l’utilise pour des données mesurables, dans le cas de production en moyenne et grande série.

Elle a pour avantage d’être plus sensible que la carte I-mR.

1. Calculer l’étendue R

Pour la carte aux étendues, on commence par calculer la moyenne des étendues Rbarre. C’est la moyenne des étendues de chaque échantillon.

Exemple :

Nous avons les résultats de 5 prélèvements de 3 pièces. Nous obtenons le tableau suivant :

 Prélèvement
1
Prélèvement
2
Prélèvement
3
Prélèvement
4
Prélèvement
5
Echantillon 11110,59,110,111,1
Echantillon 21210,99,510,811,3
Echantillon 3911,710,29,810,3
Etendu31,21,111

Nous obtenons l’étendue, en effectuant la moyenne des étendus de chaque groupe, soit dans notre exemple 1,46.

2. Calcul des limites et construction de la carte R

Pour obtenir les limites haute et basse à 3σ, on les estime à partir d’un tableau de coefficients. Les formules sont les suivantes :

  • UCL : limite supérieure = Rbarre * D4
  • LCL : limite inférieure = Rbarre * D3

 

En reprenant les données du tableau précédent, nous obtenons

  • UCL = 3,7595 (D4 étant à 2,575)
  • LCL = 0 (D3 étant égal à 0 pour des sous-groupes de 3 unités).

3. Calculer la moyenne Xbarre et construire la carte des moyennes

3.1 Calcul de Xbarre

Il s’agit de la moyenne de nos mesures.

3.2 Calcul des limites

Pour obtenir les limites haute et basse à 3σ, nous utilisons les formules suivantes :

UCL : limite supérieure = Xbarre + A* Rbarre

LCL : limite inférieure = Xbarre – A* Rbarre

Exemple :

On reprend, l’exemple précédent :

 Prélèvement
1
Prélèvement
2
Prélèvement
3
Prélèvement
4
Prélèvement
5
Echantillon 11110,59,110,111,1
Echantillon 21210,99,510,811,3
Echantillon 3911,710,29,810,3
Moyenne10,66711,0339,610,22310,9

On calcule la moyenne de chaque échantillon

Nous obtenons :

  • Xbarre = 10,5
  • UCL = 11,99 (A2 étant égal à 1,023 pour des sous-groupes de 3 unités)
  • LCL = 9,01

Interprétation

Carte des moyennes

Le graphique Xbarre traduit le fait que le processus est centré. S’il est normal, le centre du processus ne dérive pas. Si l’un des critères est validé, le processus dérive ou change de manière irrégulière et rapidement. Il devient alors nécessaire de le recentrer en regardant en priorité :

  • le réglage des machines
  • les caractéristiques des matériaux utilisés
  • les techniques pratiquées par les opérateurs.

Carte des étendues

Elle traduit l’uniformité et la cohérence. Si le graphique est étroit, c’est que le produit est uniforme. Si au contraire un critère est validé, il est alors dit hors contrôle, le processus contient quelque chose qui ne fonctionne pas régulièrement.

On attire l’attention sur le fait que pour ce qui est de la lecture des critères, ceux-ci diffèrent en fonction de si nous nous trouvons à la limite haute ou basse.

Si nous sommes à la limite basse, notre dispersion est faible, nous nous améliorons et il n’y a pas lieu d’agir. Par contre on peut investiguer pour comprendre pourquoi on s’améliore.

Inversement, si les critères sont validés « par le haut », notre dispersion augmente et il faut agir.  Généralement, cela peut être amélioré par une meilleure maintenance et une bonne formation des opérateurs.

Les coefficients à appliquer

Les formules de calcul des limites à 3σ dépendent de coefficients. Ceci est dû au fait que dans la réalité, calculer l’écart-type est statistiquement complexe si on a peu de valeur.

Pour pallier à ce problème, les créateurs de la méthode ont tabulé des coefficients permettant de simplifier les calculs et d’estimer l’écart-type à partir de l’étendu. On calcule l’étendu réduite à partir de la formule :

W = R / σ

Avec :

  • R : étendu des valeurs
  • σ étant l’écart type

On va en déduire 2 coefficients, calculés à partir de la loi normale, que sont :

  • d2 qui représente la moyenne de W
  • d3 qui représente l’écart-type de W

Les limites deviennent donc pour les étendues :

Rbarre ± 3 * (d3/d2) * Rbarre

que l’on écrit sous la forme

Rbarre + D3 * Rbarre et Rbarre + D4 * Rbarre

Avec :

  • D3 = 1 – 3 * (d3/d2)
  • D4 = 1 + 3 * (d3/d2)

Et de la même manière, les limites pour les moyennes sont :

Xbarre ± 3 * (d3/d2) * Rbarre

que l’on écrit sous la forme

Xbarre ± A2 * Rbarre

Avec : A2 = 3 / (√ (n) * d2)

Les différentes valeurs ci-dessus dépendent de la taille des différents échantillons. On rappelle simplement, que si nous prélevons plus d’un échantillon à chaque fois :

  • La moyenne Xbarre globale est calculée par rapport à la moyenne de chaque prélèvement
  • La moyenne Rbarre globale est également calculée par rapport à l’étendu de chaque sous-groupe.

Extrait de la table

 23456
d21,1281,6932,0592,3262,534
d30,8530,8880,8800,8640,848
A21,8801,0230,7290,5770,483
D300000
D43,2672,5742,2822,1142,004

Source

S. M. Zimmerman, M. L. Icenogel (1999) – Statistical quality control

J. Ledolter, C. Burril (1999) – Statistical quality control

D. H. Stamatis (2003) – Statistical process control

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