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Il s’agit sans doute des premiers plans d’expériences. Son histoire remonte au XVIIIème siècle par le mathématicien Suisse Euler et nous le rencontrons dans les jeux du SUDOKU.

Introduction

Il s’agit sans doute des premiers plans d’expériences. Son histoire remonte au XVIIIème siècle par le mathématicien Suisse Euler et le problème dit des « 36 officiers ». Nous connaissons tous ce type de plan : ils sont la base des SUDOKU. Popularisé depuis le milieu des année 1980 par les Japonais, le terme SUDOKU est la contraction du Japonais SUji wa DOKUshin ni Kaguri数字は独身に限る, que l’on peut traduire par « les chiffres ne peuvent apparaître qu’une seule fois ».

En statistique, ce type de plan a été utilisé au début de XXème siècle par Fisher pour étudier les problématiques de productivité en agriculture.

Le principe

Il s’agit en définitive de plans d’expériences fractionnaires. Ils ont l’avantage d’être les plus « logiques », et pour cette raison, les statisticiens l’apprécient beaucoup. Ils reposent sur le principe des permutations. La règle est la suivante :

Dans chaque ligne et chaque colonne d’un carré, la règle demande que chaque élément n’apparaisse qu’une et une seule fois.

De là, nous retrouvons les plans dits Gréco-Latin où pour chaque élément « Latin » nous retrouvons un autre niveau possible. A l’origine, Euler s’intéressant à la logique souhaitait étudier les combinaisons possibles de n lettres (latine) à laquelle il associait une autre lettre (Grecque).

 

Dans les représentation ci-contre :

  • L’axe vertical du carré représente un facteur : par exemple les parcelles d’un terrain
  • L’axe horizontal du carré représente un autre facteur : par exemple, la météo si nous admettons qu’elle peut avoir un effet sur la pousse de notre maïs et sur le fait que la météo est différente en fonction des terrains.
  • Les lettres : elles représentent un autre facteur. Par exemple le type d’engrais que l’on va utiliser.
  • Pour le carré gréco latin, les lettres latines représentent les niveaux d’un autre facteur qui peut être le type de maïs.

Exemple de plan carré latin

Exemple de plan Gréco-Latin

EULER et les 36 officiers

Euler produit diverses méthodes pour construire des plans de ce type impair, pair, multiple de 6, de 4… Lors de ces recherches, il s’aperçut que certains types de plans n’étaient pas résolvables. Il illustre cela via le célèbre problème des 36 officiers :

« 36 Officiers de six différents grades et tirés de six Régiments différents, qu’il s’agit de ranger dans un carré, de manière que sur chaque ligne tant horizontale que verticale il se trouva six Officiers ayant un grade et un régiment différent. »

Ce sera que bien plus tard, en 1901, que le français Tarry démontra pourquoi aucun carré gréco latin d’ordre 6 n’est possible.

1 – Choix des facteurs

Dans un premier temps, on choisit les facteurs que nous souhaitons étudier et leurs niveaux respectifs. Si nous souhaitons étudier 3 facteurs, on choisira un plan carré latin, si nous souhaitons en étudier 4, on prendra un plan gréco latin.

Malgré leur nom, nous ne sommes pas obligés de construire des « carrés ». En effet, la notion de carré impose que chaque facteur étudié ait un nombre de niveau égal. Mais en fait, nous pouvons tout à fait avoir un nombre de niveaux différents entre facteur.

2 – Construction d’un plan carré Latin ou gréco – latin

Nous souhaitons par exemple étudier 3 facteurs. Par simplicité, nos 3 facteurs ont chacun 3 niveaux. Si nous souhaitions effectuer toutes les expériences, nous devrions effectuer 27 expériences. Le plan carré latin permet de n’en faire que 9.

Pour cela, nous représentons dans un premier temps notre domaine expérimental de la manière suivante :

Le facteur 1 peut avoir les niveaux A, B et C

Le facteur 2 peut avoir les niveaux  I, II et III

Le facteur 3 peut avoir les niveaux a, b et c

Pour les plans gréco-latins, la représentation ne se fera non plus sous forme de Cube ou de parallélépipède mais à l’aide d’hyper-cube. On projettera nos cubes sur un axe supplémentaire.

2.1 – Choix du point de départ

Notre première étape consiste à choisir notre première expérience. Il n’y a pas vraiment de règle, mais le plus généralement nous allons choisir une expérience que nous savons significative.

Pour notre exemple, nous allons choisir la position C,II, b

2-2 – Choix du point n + 1

Le choix des expériences suivantes s’effectue selon la règle initiale :

Dans chaque ligne et chaque colonne d’un carré, la règle demande que chaque élément n’apparaisse qu’une et une seule fois.

Concrètement, en reprenant notre exemple, cela veut dire que mon prochain point ne pourra avoir la position II pour le facteur 2 et b pour le facteur 3. On choisira donc par exemple C, I, c

2.3 – Finir le plan

En continuant comme cela, on s’aperçoit qu’en respectant la règle, nous obtenons 9 points maximum, qui vont donc représenter nos 9 expériences. Dans notre exemple, on aura :

  1. C, II, b
  2. C, I, c
  3. C, III, a
  4. B, I, b
  5. B, II, a
  6. B, III, c
  7. A, I, a
  8. A, II, c,
  9. A, III, b

En suivant cette règle de construction, on pourra ainsi construire des plans ayant des domaines expérimentaux non plus cubiques mais parallélépipédiques.

3 – Analyse de significativité

Une fois les expériences faites, on calculera l’influence de nos facteurs puis la significativité en :

  • Pour un Carré Latin : utiliser une Anova à 3 facteurs
  • Pour un Carré Gréco-Latin : utiliser une Anova à 4 facteurs
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