Introduction
Les plans d’expériences sont tous basés sur les matrices d’Hadamard. Ces matrices ont été inventées par Sylvester en 18671, qui a construit de tout ordre, une puissance de 2, grâce à son idée de doublement. Hadamard, célèbre mathématicien français connu pour son théorème des nombre premiers, en a construit d’ordre 12 et 20 et a formulé sa célèbre conjecture en 1893 : « pour tout n multiple de 4, il existe une matrice d’Hadamard d’ordre n”.
Jacques Salomon Hadamard (1865 – 1963)
Propriété des matrices d’Hadamard
Une matrice de Hadamard d’ordre n est un tableau à n lignes et n colonnes tel que :
- tous ses coefficients valent -1 ou +1
- pour chaque paire de lignes, il y a autant de concordances que de discordances, c’est-à-dire de colonnes où les coefficients sont égaux, que de colonnes où les coefficients sont distincts.
Autrement dit, dans la matrice suivante où n = 8, prenons deux lignes quelconques, et comptons les colonnes dont les deux cases sont de même couleur, c’est-à-dire toutes deux blanches ou toutes deux orange. Alors on trouve exactement 4 concordances de couleur, et donc automatiquement 4 discordances de couleur.
Matrice d’Hadamard avec n = 8
Lignes 1 et 2 du logo
Les concordances de couleur ont lieu aux colonnes numéros 1, 3, 5 et 7, et les discordances aux quatre colonnes restantes.
Lignes 3 et 5 du logo
Les concordances de couleur ont lieu ici aux colonnes numéros 1, 2, 7 et 8.
Intérêt des matrices d’Hadamard
Les matrices d’Hadamard possèdent diverses propriétés très utilisées dans le codage, le traitement des signaux… Dans le cas des plans d’expériences, 2 propriétés nous intéressent :
- Elles permettent de maximiser le déterminant d’une matrice, autrement dit, le critère appelé D-Optimalité2 (D pour Déterminant). Il se décrit de la manière suivante : tXX = nIn. En maximisant le déterminant d’une matrice, on minimise la Variance et la Covariance du résultat. Ce qui nous permet, dans notre système d’équations à résoudre, de minimiser la Variance des effets de chacun des facteurs et d’avoir une bonne précision dans les estimations.
- Elles nous assurent l’orthogonalité : si l’on remplace la couleur des cases par +1 et -1 ou plusieurs autres valeurs (si nous avons plus de 2 niveaux par facteur), la somme de chacune des colonnes doit être égale à 0. Ainsi, plus la matrice sera orthogonale et plus le plan sera meilleur. Si le plan est orthogonal, on est assuré que le facteur A est pris en compte au même poids que le facteur B. Il n’y a donc pas un facteur qui est pris plus en considération que l’autre.
Source
1 – J. J. Sylvester (1867) – Thoughts on inverse orthogonal matrices, simultaneous sign-successions, and tessellated pavements in two or more colors, with applications to Newton’s rule, ornamental tile-work, and the theory of numbers
2 – J. J. Droesbeke, J. Fine, G. Soporta (1996) – Plans d’expériences, application à l’entreprise
