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Outil de base des plans d’expériences, les matrices d’Hadamard ont permis « d’automatiser » la planification des expériences tout en garantissant la qualité du résultat mathématiquement.

Introduction

Les plans d’expériences sont tous basés sur les matrices d’Hadamard. Ces matrices ont été inventées par Sylvester en 18671, qui a construit de tout ordre, une puissance de 2, grâce à son idée de doublement. Hadamard, célèbre mathématicien français connu pour son théorème des nombre premiers, en a construit d’ordre 12 et 20 et a formulé sa célèbre conjecture en 1893 : « pour tout n multiple de 4, il existe une matrice d’Hadamard d’ordre n”. 

Jacques Salomon Hadamard (1865 – 1963)

Propriété des matrices d’Hadamard

Une matrice de Hadamard d’ordre n est un tableau à n lignes et n colonnes tel que :

  • tous ses coefficients valent -1 ou +1
  • pour chaque paire de lignes, il y a autant de concordances que de discordances, c’est-à-dire de colonnes où les coefficients sont égaux, que de colonnes où les coefficients sont distincts.

Autrement dit, dans la matrice suivante où n = 8, prenons deux lignes quelconques, et comptons les colonnes dont les deux cases sont de même couleur, c’est-à-dire toutes deux blanches ou toutes deux orange. Alors on trouve exactement 4 concordances de couleur, et donc automatiquement 4 discordances de couleur.

Matrice d’Hadamard avec n = 8

Lignes 1 et 2 du logo

Les concordances de couleur ont lieu aux colonnes numéros 1, 3, 5 et 7, et les discordances aux quatre colonnes restantes.

Lignes 3 et 5 du logo

Les concordances de couleur ont lieu ici aux colonnes numéros 1, 2, 7 et 8.

Intérêt des matrices d’Hadamard

Les matrices d’Hadamard possèdent diverses propriétés très utilisées dans le codage, le traitement des signaux… Dans le cas des plans d’expériences, 2 propriétés nous intéressent :

  • Elles permettent de maximiser le déterminant d’une matrice, autrement dit, le critère appelé D-Optimalité2 (D pour Déterminant). Il se décrit de la manière suivante : tXX = nIn. En maximisant le déterminant d’une matrice, on minimise la Variance et la Covariance du résultat. Ce qui nous permet, dans notre système d’équations à résoudre, de minimiser la Variance des effets de chacun des facteurs et d’avoir une bonne précision dans les estimations.
  • Elles nous assurent l’orthogonalité : si l’on remplace la couleur des cases par +1 et -1 ou plusieurs autres valeurs (si nous avons plus de 2 niveaux par facteur), la somme de chacune des colonnes doit être égale à 0. Ainsi, plus la matrice sera orthogonale et plus le plan sera meilleur. Si le plan est orthogonal, on est assuré que le facteur A est pris en compte au même poids que le facteur B. Il n’y a donc pas un facteur qui est pris plus en considération que l’autre.

Source

1 – J. J. Sylvester (1867) – Thoughts on inverse orthogonal matrices, simultaneous sign-successions, and tessellated pavements in two or more colors, with applications to Newton’s rule, ornamental tile-work, and the theory of numbers

2 – J. J. Droesbeke, J. Fine, G. Soporta (1996) – Plans d’expériences, application à l’entreprise

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