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Par essence, les plans complets sont les plus efficaces pour établir une relation de causes à effets. Très utilisés, ils trouvent vite leur limite dès que le nombre de facteurs augmente.

Introduction

Les plans factoriels complets sont les premiers outils de planification des essais qui ont été mis au point au début du 20ème siècles. Très efficace car les seuls capables de prendre en compte l’ensemble des interactions entre facteur, il trouve à contrario rapidement leur limite au regard du nombre d’essais à réaliser.

Le nombre d’expériences se calcule avec la formule suivante :

N = nk

  • n : nombre de niveau par facteurs
  • k : nombre de facteurs

Pour illustrer la croissance rapide du nombre d’expériences, voici un comparatif en prenant en compte le fait qu’il faut 5 minutes par expériences :

  • 3 facteurs à 2 niveaux : 8 expériences soit 40mn.
  • 5 facteurs à 2 niveaux : 32 expériences soit plus de 2hr.
  • 7 facteurs à 2 niveaux : 128 expériences soit plus de 10hr.
  • 9 facteurs à 2 niveaux : 512 expériences soit plus de 42hr.
  • Enfin, si nous souhaitons essayer ces mêmes 9 facteurs mais à 3 niveaux : 19 683 expériences soit plus de 69 jours.

Et juste pour l’exemple, si l’on souhaite étudier 15 facteurs sur 3 niveaux, il nous faudrait 14 348 907 expériences, ce qui nous prendrait plus de 136 ans. Autant dire irréalisable.

Construction de la matrice d’expériences

Dans le cadre d’une utilisation pour du Screening, la construction du tableau suit l’algorithme de Yates et s’élabore comme suit :

  • La première colonne est une suite alternée de – et de + en commençant par un –
  • La seconde colonne est une suite alternée de 2 – et de 2 + en commençant par les –
  • La troisième colonne est une suite alternée de 4 – et de 4 + en commençant par les –

Exemple : la matrice pour 4 facteurs

N° de l’essai

Facteur 1

Facteur 2

Facteur 3

Facteur 4

1

-1

-1

-1

-1

2

+1

-1

-1

-1

3

-1

+1

-1

-1

4

+1

+1

-1

-1

5

-1

-1

+1

-1

6

+1

-1

+1

-1

7

-1

+1

+1

-1

8

+1

+1

+1

-1

9

-1

-1

-1

+1

10

+1

-1

-1

+1

11

-1

+1

-1

+1

12

+1

+1

-1

+1

13

-1

-1

+1

+1

14

+1

-1

+1

+1

15

-1

+1

+1

+1

16

+1

+1

+1

+1

Construction de la matrice des effets

Etape 1 : Prendre en compte la constante a 

On rajoute tout d’abord une colonne à gauche de la matrice avec uniquement des +1. Cette colonne est là pour prendre en compte dans le calcul, la constante a .

Etape 2 : Intégrer les interactions

On rajoute autant de colonne qu’il y a d’interactions d’ordre 2, 3… Pour 3 facteurs, nous allons donc rajouter 4 colonnes.

Les plus et les moins de chacune des colonnes des interactions sont le résultat du produit des + et des – des facteurs associés.

Au final, nous obtenons la matrice suivante pour un plan 23:

a

A1X1

A2X2

A3X3

A12X1X2

A13X1X3

A23X2X3

A123X1X2X3

+1

-1

-1

-1

+1

+1

+1

-1

+1

+1

-1

-1

-1

-1

+1

+1

+1

-1

+1

-1

-1

+1

-1

+1

+1

+1

+1

-1

+1

-1

-1

-1

+1

-1

-1

+1

+1

-1

-1

+1

+1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

-1

+1

-1

+1

+1

-1

-1

+1

-1

+1

+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

Source

R. A. Fisher (1925) – Statistical methods for research workers

R. A. Fisher (1935) – The design of experiments

W. G. Cochran, G. M. Cox (1957) – Experimental design

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