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Statistiquement les plus intéressants, les plans fractionnaires ont été la première génération des plans d’expériences. Ils permettent d’associer une bonne qualité des résultats tout en limitant le nombre d’essais.

Introduction

Les plans fractionnaires permettent de réduire drastiquement le nombre d’essais par rapport à un plan complet. S’appuyant sur la théorie des « aliases », ils permettent de réduire le nombre d’essais par 2, 4, 8… Le nombre d’essai est réduit et se calcule de la manière suivante : nk-q

  • n : le nombre de niveau des facteurs. Généralement 2.
  • k : le nombre de facteurs au total.
  • q : le nombre de facteurs aliasés dans le modèle initial

Historique

S’appuyant sur les travaux de Yates1, Box et Hunter2 développent les plans fractionnaires à 2 niveaux (criblage) dès la fin de la seconde guerre mondiale.

Notion d’aliase et de contraste

La théorie des aliases est à la base de la mise en place d’un plan fractionnaire. Maîtriser cette théorie est essentielle pour construire les plans fractionnaires et surtout savoir interpréter les résultats.

Cette technique consiste à rassembler les inconnues du plan d’expériences (les effets des différents facteurs et des interactions) par groupes. Groupes que l’on analyse ensuite en utilisant des hypothèses d’approximation.

On les regroupe de telle manière qu’il y ait n inconnu. On résout donc un système de n équations à n groupes de coefficients que l’on appelle des aliases. Par exemple, le facteur C pour une table 24-1 est aliasé avec l’interaction ABD. Autrement dit, le coefficient qui sera calculé en réalité est un coefficient qui démontrera de l’effet de C et de ABD. On n’a donc pas un résultat « pur ». Ce phénomène d’addition est appelé contraste.

Nous comprenons dans l’immédiat qu’effectivement, les résultats ne peuvent être interprété directement sans émettre un certain nombre d’hypothèses que nous détaillons un peu plus loin.

Construction de la matrice d’expériences

Les plans fractionnaires utilisent des tables « toutes faites » que l’on choisies en fonction de ce que nous souhaitons ou pouvons faire et du degré de précision que nous souhaitons.

Par exemple, nous souhaitons étudier 7 facteurs. Si nous avions à faire un plan d’expériences complet, nous aurions à faire 27expériences soit 128. Pour des raisons de coût et de délai, on ne peut en faire autant. On cherche dans le tableau de synthèse des plans fractionnaires, le plan qui correspond le mieux à notre situation.

Pour 7 facteurs, nous avons le choix entre 4 plans d’expériences qui ont besoin respectivement de 8, 16, 32 ou 64 expériences. Ceci en fonction de leur « résolution ». Par évidence, plus la résolution sera élevée et plus la qualité du résultat sera bonne.

Construction de la matrice des effets

La construction de la matrice répond également à l’algorithme de Yates et est similaire à la construction de la matrice pour plan complet.

Etape 1 : Prendre en compte la constante a 

On rajoute tout d’abord une colonne à gauche de la matrice avec uniquement des +1. Cette colonne est la pour prendre en compte dans le calcul, la constante a .

Etape 2 : Identifier le générateur d’aliase

La différence par rapport à un plan complet, repose sur l’allocation des colonnes pour les interactions. Nous l’expliquons via l’exemple suivant :

Pour 3 facteurs, X1, X2 et X3, un plan complet demandera 23 essais soit 8. Nous souhaitons ne mettre en place que 4 essais pour des raisons de coût. Nous allons réaliser un plan fractionnaire à 23-1. Pour construire notre matrice des effets, on part de la matrice d’un plan complet 22 :

Matrice des essais 22 ou 23-1

N° Essai

A 

X1

X2

X1X2

1

+1

-1

-1

+1

2

+1

+1

-1

-1

3

+1

-1

+1

-1

4

+1

+1

+1

+1

Comme nous avons 3 facteurs principaux, nous remplaçons l’interaction X1X2 par le facteur X3. Le nomme le générateur d’aliase « q ». On obtient la matrice suivante :

N° Essai

A 

X1

X2

X1X2 +X3

1

+1

-1

-1

+1

2

+1

+1

-1

-1

3

+1

-1

+1

-1

4

+1

+1

+1

+1

On notera qu’un plan complet est donc « coupé » en 2q fois. Par exemple, si nous n’avons qu’un générateur, on aura 2 fois moins d’expériences qu’un plan complet. Si on a 2 générateurs, on aura 4 fois moins d’expériences…

Etape 3 : Identifier les aliases

Il nous reste à trouver l’emplacement des 3 autres interactions X1X2X3, X2X3 et X1X3. On l’a vue dans les plans complets, la construction des signes des interactions se calcule en faisant le produit des 2 variables. Ainsi, si A = -1 et B = -1, sur la même ligne l’interaction AB aura le signe +. Ainsi, pour construire nos « aliases », nous allons chercher à savoir à quelles colonnes des effets principaux correspond tel ou tel interaction. En suivant cette logique, nous allons construire nos aliases et déduire la matrice des effets :

Matrice des effets 23-1

N° Essai

A  + X1X2X3

X1 + X2X3

X2 + X1X3

X1X2 +X3

1

+1

-1

-1

+1

2

+1

+1

-1

-1

3

+1

-1

+1

-1

4

+1

+1

+1

+1

Ainsi, pour avoir la colonne X2 de la table 22 traditionnelle, on peut faire le produit des signes des effets X1 avec les effets X3

Interpréter les résultats

Etape 11 d’un plan d’expériences, tous les plans fractionnaires posent le même problème d’interprétation des résultats. Comme on n’effectue pas toutes les expériences du plan complet, on ne peut pas obtenir la valeur de tous les effets des facteurs principaux et des interactions de manière indépendante.

Pour interpréter les résultats, on « introduit » des hypothèses de travail qui vont devoir être vérifiées avant de conclure sur les résultats :

  • Hypothèse 1  : Les interactions d’ordre 3 (interaction entre 3 facteurs) ou plus sont considérées comme négligeables.
  • Hypothèse 2  : Si un effet lié à une aliase est nul, cela peut signifier deux choses :

Que les effets des facteurs et des interactions de l’aliase sont tous nuls. C’est l’hypothèse la plus probable et c’est celle que nous retiendrons dans le cas général.

Que les effets des facteurs et des interactions de l’aliase se compensent. Cette hypothèse est peu probable et nous ne la retiendrons pas.

  • Hypothèse 3  : Si deux coefficients d’effets principaux sont faibles, on supposera que leur interaction l’est aussi.
  • Hypothèse 4 : Si l’effet d’un facteur principal est fort et un autre faible, alors on supposera que leur interaction est faible.
  • Hypothèse 5 : Si deux effets sont forts, on se méfiera de leur interaction qui peut l’être également.

 

Dans le cas des plans fractionnaires, les conclusions sont toujours quelque peu « incertaine ». La construction de ce type de plan reposant sur un certain nombre d’hypothèses, il y a toujours une probabilité, qu’il y ait des approximations. Il est donc hautement recommandé de valider le modèle avec d’autres essais qui sortent du domaine expérimental.

Exemple d’interprétation

1. Négliger les effets d’ordre élevé

Dans un premier temps, et c’est ce que l’on appelle l’hypothèse 1, nous allons négliger les interactions des ordres les plus élevés. Pour un plan 24-1, on considére que l’interaction d’ordre 4, X1X2X3X4, et les 4 interactions d’ordre 3, X2X3X4, X1X3X4, X1X2X4 et X1X2X3 sont nulles. Prenons l’exemple ci-dessous :

Nous avons comme résultats

Applications de l’hypothèse 1

a  + a1234 = 2,4125

a1 + a234 = 0,1125

a2 + a134 = -1,4125

a3 + a124 = -0,2625

a4 + a123 = 0,3125

a12 + a34 = -0,1625

a13 + a24 = 0,0875

a23 + a14 = -0,4875

En négligeant les interactions d’ordre 3 et 4, nous déduisons :

a  = 2,4125

a1 = 0,1125

a2 = -1,4125

a3 = -0,2625

a4 = 0,3125

a12 + a34 = -0,1625

a13 + a24 = 0,0875

a23 + a14 = -0,4875

2. Interprétation des effets

Nous allons désormais interpréter les effets et mettre en oeuvre les hypothèses 2, 3, 4 et 5 de travail.

  • Pour l’hypothèse 2 : nous n’avons pas d’effet nul, nous n’avons donc pas à l’utiliser.
  • Pour l’hypothèse 3 : on observe que les effets de 1, 3 et 4 sont faibles. On suppose donc que leurs interactions associées sont faibles. Nous négligeons alors l’interaction 13, 14, et 34.
  • Pour l’hypothèse 4 : on néglige les interactions 12, 23 et 24, puisque seul l’effet du facteur 2 est fort.
  • Enfin, dans notre cas, nous ne pouvons appliquer l’hypothèse 5 puisque nous n’avons pas 2 effets forts (on ne considère pas a )

Nous avions suite à l’étape 1

Applications des l’hypothèses 2, 3, 4 et 5

a  + a1234 = 2,4125

a1 + a234 = 0,1125

a2 + a134 = -1,4125

a3 + a124 = -0,2625

a4 + a123 = 0,3125

a12 + a34 = -0,1625

a13 + a24 = 0,0875

a23 + a14 = -0,4875

En conclusion des éléments ci-dessus, nous obtenons le modèle suivant :

a  = 2,4125

a1 = 0,1125

a2 = -1,4125

a3 = -0,2625

a4 = 0,3125

3. Conclusion à priori

En appliquant les différentes hypothèses de travail, on s’aperçoit que nous « négligeons » l’ensemble des interactions entre facteur. Notre modèle est donc simplifié au maximum.

Pour le valider, nous pouvons dans un premier temps mettre en place quelques essais supplémentaires. Dans notre cas, on veut valider que les interactions 1 et 4 sont négligeables. On va donc effectuer des essais en faisant varier successivement 1 et 4 puis 1 et 4 en même temps et comparer les résultats avec notre modèle de prédiction. S’il n’y a pas d’écart, alors l’interaction est bien négligeable.

Comparaison plan complet / plan fractionnaire

Prenons le cas où nous avons 3 facteurs que nous voulons étudier. Voici le tableau complet avec les réponses associées :

Plan factoriel complet

Plan fractionnaire

Si nous avions réalisé un plan fractionnaire, nous n’aurions réalisé que 4 essais, les 4 essais correspondants, dans l’ordre, aux essais 5, 2, 3 et 8 du plan complet :

Tableau des résultats

Plan factoriel complet

Plan fractionnaire

a  = 27,25

a1 = -1

a2 = -6

a3 = -4

a12 = -0,25

a13 = – 0,25

a23 = 0,25

a123 = 0

a  + a123 = 27,25

a1 + a23 = -0,75

a2 + a13 = -6,25

a3 + a12 = -4,25

En comparant avec les résultats du plan complet, on observe bien le fait que dans le cas d’un plan fractionnaire l’effet de l’interaction s’additionne à l’effet principal de part le phénomène d’aliase. On appelle cela un contraste. Nous n’avons donc pas un effet pur. Sans maîtrise des aliases et sans connaissances sur le phénomène, il est donc très compliqué d’interpréter les résultats.

La notion de résolution

On le comprend, la seule mise en place des aliases pour réduire le nombre d’essais n’est pas suffisante. On met en place également un système de « résolution » qui identifie la manière de mettre en place les aliases. Le principe est : au plus la résolution est élevée, au moins les effets principaux et interactions d’ordre faible sont aliasés. Autrement dit, au plus la résolution est élevée, au plus la précision est grande, mais à contrario, au plus le nombre d’essai augmente.

On appelle ainsi3 :

  • Résolution III : les effets principaux ne sont pas confondus avec d’autres effets mais seulement avec les interactions d’ordre 2 et plus. C’est le système de résolution le moins « précis » dans le sens où nous avons ici les effets principaux qui sont aliasés avec de nombreuses interactions. Exemple, pour un plan factoriel 27-4, de résolution III, nous avons A qui est aliasé avec BD + CE + FG + BCG + CDF + DEG + ABCF + ABEG + ACDG + ADEF + ABCDE + ABDFG + ACEFG + BCDEFG.
  • Résolution IV : les effets principaux ne sont pas confondus avec d’autres effets principaux ou interactions doubles. Elles sont simplement aliasés avec des interactions d’ordre 3 et plus. Exemple, pour un plan factoriel 27-3 de résolution IV, nous avons A qui est aliasé avec BCE + BFG + CDG + DEF + ABCDF + ABDEG + ACEFG.
  • Résolution V : les effets principaux et les interactions doubles ne sont pas confondus. Par exemple, pour un plan 25-1 de résolution V, on a A qui est aliasé avec BCDE et AB avec CDE.

 

On notera que mettre en place un plan fractionnaire est « rentable » à partir d’une résolution de III. En deçà, résolution II et I, la précision n’est statiquement plus suffisante pour avoir des résultats significatifs. C’est pour cette raison qu’il n’y a pas dans le tableau ou dans les logiciels, des propositions de ce type.

Source

1 – Yates (1937) – The design and analysis of factorial experiments

2 – G. E. P. Box, W. G. Hunter, J. S. Hunter (1978) – Statistics for experimenters, an introduction to design, data analysis and model building

3 – Norme ISO 3534-3 (2013) – Plans d’expériences

S. Vivier (2009) – Méthode des plans d’expériences

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