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Développé au milieu du 20ème siècle, les plans de Plackett et Burman ont la particularité de ne pas prendre en compte les interactions et ainsi de réduire drastiquement le nombre d’expériences.

Introduction

R. L. Plackett et J. P. Burman ont publié leur étude en 1946. Ils expliquent comment construire des plans permettant d’étudier un grand nombre de facteurs en peu d’essais. Leur hypothèse est que l’ensemble des interactions entre facteurs est négligeable face aux effets des facteurs. Autrement dit, ce type de plan permet uniquement d’étudier les effets des facteurs principaux et non les interactions. On peut ainsi les voir comme des plans factoriels fractionnaires de résolution III.

Construction de la matrice d’expériences et des effets

Matrice confondue dans le cas de ce type de matrice, les matrices d’expériences et des effets de Plackett-Burman ne sont autres que des matrices d’Hadamard1. Plackett et Burman ont simplifié et systématisé leur construction2.

On note pour la suite que N est le nombre de facteur et NH, le nombre d’expériences.

1. Indiquer les signes de la première colonne

On construit la première colonne de la matrice, correspondant l’effet du facteur 1. On va la construire selon le tableau suivant :

On remarque, que nous avons le choix entre 7 combinaisons de plus et de moins. La combinaison que nous allons choisir dépend du nombre de facteur que nous avons à étudier. Sachant qu’une table de Plackett et Burman permet d’étudier N-1 facteurs, le choix est le suivant :

  • Pour 1 à 3 facteurs : NH = 4
  • Pour 4 à 7 facteurs : NH = 8
  • Pour 8 à 11 facteurs : NH = 12

Par exemple, si l’on souhaite étudier 7 facteurs, on aura à effectuer 8 essais dont la première colonne sera + + + – + – -.

2. Déduction des N-2 colonnes

On déduit ensuite les N-2 autres colonnes par permutation circulaire selon le schéma suivant :

On reproduit l’étape précédente jusqu’à obtenir une matrice de ce type pour 8 essais et 7 facteurs :

3. Ajouter une colonne et une ligne

On l’a vu depuis l’étape 1, il nous manque une ligne et une colonne de signe pour le dernier essai. Nous les rajoutons et nous leur donnons le signe – pour obtenir la matrice suivante :

4. Permuter les signes

L’objectif à partir de cette étape est de retrouver une matrice standard des plans factoriels complets. Pour cela, on commence par numéroter les lignes. On sait qu’en modifiant tous les signes d’une table, on ne modifie pas la qualité des résultats. Nous permutons donc tous les signes pour obtenir le résultat suivant :

5. Ordonner les lignes

Ordonnons désormais les lignes pour obtenir une matrice standard (dans notre cas une 23) des plans factoriels complets. Nous obtenons au final cette matrice :

Nous obtenons une matrice ou les facteurs 4, 5, 6 et 7 sont confondus respectivement avec les interactions 12, 23, 123, et 13.

Interprétation des résultats

Les plans de Plackett et Burman posent le même problème d’interprétation des résultats que les plans fractionnaires. Comme on néglige les interactions, on doit prendre en compte la théorie des aliases pour l’interprétation des résultats.

Source

1 – J. J. Droesbeke, J. Fine, G. Saporta (1997) – Plans d’expériences – Applications à l’entreprise

2 – D. Benoist, Y. Tourbier, S. Germain-Tourbier (1994) – Plans d’expériences : construction et analyse

R. L. Plackett, J. P. Burman (1946) – The design of optimum multifactorial experiments

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