[Total : 1    Moyenne : 5/5]

La Loi de Little, théorie des files d’attentes, lie le temps d’attente, les en-cours et le débit du système.

Introduction

 

La Loi de Little (1961), “théorie des files d’attentes” (Queuering Theory en Anglais), lie le temps d’attente, les en-cours et le débit du système. L’origine de cette loi se trouve dans la gestion des réseaux téléphoniques de Copenhague, par les travaux de l’ingénieur danois A. K. Erlang, dans les années 1900-1920. Il étudie les systèmes d’arrivée dans une file d’attente et les priorités de chaque nouvel entrant. Il observe le caractère poissonnien des arrivées des appels à un central téléphonique et le caractère exponentiel des durées des appels : autrement dit, au plus il y a d’appels en entrée, au plus la durée de l’appel est long. Il en déduit alors la probabilité d’avoir un appel rejeté, et propose une théorie d’équilibre entre les entrées et les sorties.

A partir des années 1930, grâce à des mathématiciens connus comme Markov ou Kolmogorov, la théorie se développa via des applications opérationnelles : flux de trafic de véhicules, de personnes, ordonnancement de production, gestion des patients aux urgences, dimensionnement des guichets de banques…

Mais, ce sera un mathématicien américain, John Little, qui identifia et popularisera la formule en 19541. N’ayant pas de « preuve » de sa loi, le mathématicien P. M. Morse demanda à qui que ce soit d’en démontrer le contraire2. En 1961, John Little republiera3 sa formule en la prouvant par le fait qu’on ne peut ne pas la contredire…

Le modèle de Erlang

Le modèle d’origine de Erlang est encore très utilisé dans les télécommunications pour dimensionner les systèmes. Sa formule est la suivante (publié en 1917) :

Avec :

  • B : la dimension du système
  • m : le nombre de circuit
  • α : le nombre moyen d’appel en l’absence de blocage, qui est égale à λ / μ
  • λ : Densité des appels à l’entrée
  • μ : Durée moyenne de l’appel

Le principe

La Loi de Little s’applique à tout type de processus, quelque soit sa variabilité. Elle s’écrit :

WIP = T * LT

Avec :

  • WIP : Work In Progress, “stock d’en-cours
  • T : le Débit par unité de temps de sortie de notre système
  • LT : Lead Time (Temps de Cycle moyen passé dans le système) qui correspond au temps d’attente plus le temps de traitement.

On notera que pour faire le corollaire avec la comptabilité de la Théorie des Contraintes :

  • WIP = Inventory
  • T = Throughput

On notera aussi qu’à éliminer les Muda, le Lean utilise implicitement cette loi.

Cette expression est très intéressante. Elle nous montre que, si l’on veut réduire le Lead Time, nous avons 2 choix :

  • Réduire le WIP.
  • Augmenter le débit.

Partant du fait qu’un système aura forcément un goulot, on réduira le Lead Time, on choisiera alors de calculer l’encours maximal. Mettre en place un Kanban permet de gérer cet en-cours.

Les 3 apprentissage de la Loi de Little

1. La Loi de Little met en avant que le temps de passage des tâches est proportionnel au stock d’en-cours. Elles s’opposent donc aux habitudes qui consistent à “mettre la pression” pour pousser le travail en se disant que plus il y en a, plus il en sort.

2. Elle met également en avant le fait que pour accélérer les processus la seule piste d’optimisation des processus n’est pas suffisante. Il faut également penser à mieux gérer ce qui rentre dans le processus.

3. Enfin, elle a pour enjeu de démontrer que la maîtrise des en-cours est un élément très important si l’on souhaite optimiser ses processus. Les en-cours :

  • Prennent de la place.
  • Génèrent de la non qualité.
  • Rendent la planification plus complexe.
  • Représentent de l’argent qui dort.
  • Apportent de la variabilité dans les temps de cycles.

En résumé, la loi de Little nous apprend qu’on n’ira pas plus vite en POUSSANT en entrée d’un processus.

Exemple

Nous sommes manager. Le personnel se plaint du délai de réponse que nous avons pour répondre aux mails. Pour le moment, nous avons environ 200 mails non lus dans notre boite, et nous savons traiter en moyenne 25 mails par jour.

Notre Lead Time moyen est donc de 200 / 25 soit 8 jours de temps moyen passé par un email dans la boite.

On souhaiterait réduire ce temps par au moins 3, soit passer de 8 jours à un peu plus de 2 jours et demi. Sachant que nous ne pouvons pas traiter plus de 25 mails par jour, la Loi de Little nous permet de calculer l’encours maximal, soit dans notre cas :

WIP max = 2,66 * 25 = 65 à 70 mails.

Autrement dit, nous devons faire en sorte de n’avoir au maximum que 65 à 70 mails non lus dans notre boite et donc mettre en place des standards pour gérer les envois d’emails.

Un peu d’humour sur la théorie des files d’attentes

 

Source

1 – A. Cobham (1954) – Priority assignment in waiting line problem

2 – M. P. Morse (1958) – Queues, inventories and maintenance : the analysis of operational system with variable demande and supply

3 – J. D. C. Little (1961) – A proof of queuing formula : L = λW

A. K. Erlang (1909) – The theory of probabilities and telephone conversations

F. Sur (2011) – Les files d’attentes

L. Morisseau (2014) – Kanban pour l’IT

M. Samuellides (2014) – Probabilités pour les sciences de l’ingénieur

J. F. Hêche, T. M. Liebling, D. De Warra (2003) – Recherche opérationnelle pour l’ingénieur

T. Bonald, M. Feuillet (2011) – Performances des réseaux et des systèmes informatiques

Share This