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Cette méthode d’aide à la décision repose sur un découpage du processus de décision en une structure hiérarchique et une comparaison par paire des différents critères.

Introduction

La méthode AHP, Analytic Hierarchy Process, a été développée par Saaty dans les années 19701. Alors consultant pour le gouvernement américain, il l’a développé pour optimiser l’allocation des ressources. Cette méthode peut être utilisée à chaque fois que nous avons à prendre une décision sur la base de plusieurs critères :

  • Technologie de fabrication
  • Choix de conception d’un nouveau produit

Le principe

Cette méthode repose sur un découpage du processus de décision en une structure hiérarchique. Cette structure pyramidale se compose toujours au sommet du sujet de décision, puis d’un niveau de critère, puis d’un niveau de sous-critère… et tout en bas des différentes alternatives que nous avons.

1 – Définir le sujet

Première étape évidente, définir le sujet sur lequel nous devons porter une décision. Par exemple : Quelle est la meilleure technologie pour assurer le bon sertissage d’un flacon ? Quelle est la meilleure voiture vis-à-vis de mon besoin ?

2 – Construire une analyse hiérarchique du sujet

Nous allons commencer par mettre en place des niveaux d’évaluations, du niveau le plus général au plus particulier. Il peut y avoir 1 ou X niveau. Le plus généralement, on retrouvera 2 niveaux de critères : des critères globaux et des sous-critères particuliers.

Exemple :

Nous souhaitons choisir une voiture. Nous hésitons entre 3 modèles, et nous construisons la hiérarchie de choix de la manière suivante.

3 – Mettre en place la matrice d’évaluation du premier niveau

Pour l’ensemble des niveaux, on va mettre en place une matrice d’analyse par paire pour évaluer l’importance de chacun d’entre eux.

Saaty2 propose une évaluation sur 5 niveaux selon le tableau suivant :

Description

Valeur numérique

Les deux éléments ont une importance égale

1

L’élément en ligne est un peu plus important que celui en colonne

3

L’élément en ligne est plus important que celui en colonne

5

L’élément en ligne est beaucoup plus important que celui en colonne

7

L’élément en ligne est absolument plus important que celui en colonne

9

L’élément en ligne est un peu moins important que celui en colonne

1/3

L’élément en ligne est moins important que celui en colonne

1/5

L’élément en ligne est beaucoup moins important que celui en colonne

1/7

L’élément en ligne est absolument moins important que celui en colonne

1/9

Dans certain cas, si nous avons des difficultés pour évaluer, on affinera en rajoutant des valeurs intermédiaires.

2, 4, 6, 8

Exemple

Notre sujet est donc le choix de la voiture. Le premier niveau de critères se compose du Prix, de l’équipement et de l’espace. On construit la matrice d’évaluations et nous obtenons le résultat suivant :

Prix

Equipement

Habitabilité

Prix

1

9

3

Equipement

1/9

1

1/5

Habitabilité

1/3

5

1

 

La matrice se lit de la manière suivante :

  • Le prix est absolument plus important que l’équipement : on le note 9
  • L’espace est plus important que le l’équipement : le note 5

On note que :

  • La diagonale est toujours composée de 1, un critère ayant une importance égale à lui-même…
  • Si le Prix a la note de 9 vis-à-vis de l’équipement, alors l’équipement a une note de 1/9 vis-à-vis du Prix.

4 – Calculer le poids de chaque critère

 

Dans l’étape précédente, nous avons construit une matrice carrée qui découle d’une évaluation 2 à 2 des critères. En calculant les valeurs propres de cette matrice, nous obtiendrons le poids de chacun de nos critères. Le calcul est le suivant :

 

  1. On effectue la somme par colonne.
  2. On divise chacune des valeurs de la colonne par la somme de celles-ci.
  3. Le poids (qui correspond à la valeur propre de la matrice) est donné en calculant la moyenne de chacune des lignes.

Exemple 

En reprenant l’exemple précédent, nous obtenons les résultats suivants :

Poids

Prix

67%

Equipement

6%

Habitabilité

27%

5 – Vérifier la cohérence du résultat

A ce stade, nous avons donc le « poids » de chacun des critères de niveau 1. La méthode AHP propose alors d’en valider la fiabilité du résultat en calculant un index de cohérence. En effet, l’incohérence potentielle peut venir du fait qu’un critère peut ne pas être jugé de façon cohérente vis à vis d’un ou plusieurs autres. Cet index va donc nous permettre de détecter des défauts importants dans notre calcul et notre évaluation.

Par exemple, si on inverse le jugement de l’équipement et de l’espace, le restant étant égal. Autrement dit, on considère désormais que l’équipement est plus important que l’espace. On obtient la matrice suivante.

Prix

Equipement

Habitabilité

Prix

1

9

3

Equipement

1/9

1

1/5

Habitabilité

1/3

5

1

 

On voit bien que l’on a une incohérence de jugement puisque d’un côté nous avons le prix qui est absolument plus important que l’équipement et faiblement plus important que l’espace, alors que l’équipement est jugé plus important que l’espace.

Le ratio de cohérence pourra mettre en avant cela. Son calcul est le suivant :

RC = IC / RI

Avec :

  • RI, Indice aléatoire élaboré par Saaty : Il indique le niveau de fiabilité d’une même évaluation effectuée à plusieurs reprises.
  • IC, Index de Cohérence : il représente le niveau de fiabilité de notre jugement (détail du calcul ci-dessous).
  • RC, Ratio de Cohérence : En divisant IC par RI, on compare donc notre fiabilité réelle avec une fiabilité théorique. Au plus ce ratio est proche de 0, au plus notre évaluation est cohérente. Saaty donne une valeur au plus de 10% d’erreur pour pouvoir accepter l’évaluation. Le cas contraire, il faudra refaire l’évaluation.

L’index de cohérence se calcule de la manière suivante : 

CI = (λmax – n) / (n- 1)

  •  λmax : Valeur propre maximale. Pour le détail du calcul, télécharger le fichier excel joint.
  • n : taille de la matrice.

On note simplement que pour une matrice de taille 2, il ne sera pas possible de calculer un ratio d’incohérence, puisque l’incohérence n’est pas possible…

Exemple

Dans notre cas, la valeur IC est à 0,023 et le RC de 0,04. Notre matrice est donc cohérente.

Dans le second exemple où nous créons délibérément une incohérence, nous obtenons les valeurs suivantes : IC à 0,74 et RC à 1,28, donc très largement incohérente. Dans ce cas, il faudra investiguer pour trouver d’où vient l’incohérence.

6 – Itérer les étapes 4 et 5 pour les groupes de sous-critères

Pour chacun des niveaux suivants, on va mettre en place une matrice par critère du niveau précédent, puis on va refaire une évaluation par paire de chaque alternative vis à vis de ce critère.

Cette étape est réitérée autant de fois qu’il y a de niveaux.

Exemple

Continuons notre exemple en effectuant le même travail pour les groupes de sous-critères. Nous obtenons les matrices suivantes :

Equipement

GPS

Toit ouvrant

Poids

GPS

1

7

88%

Toit ouvrant

1/7

1

12%

 

Habitabilité

Nb de places

Taille du coffre

Poids

Nb de places

1

5

83%

Taille du coffre

1/5

1

17%

 

 

7 – Calculer le « poids » final

Une fois l’ensemble des poids des critères par niveau, on va calculer le poids final en multipliant simplement les poids des critères du niveau le plus bas par les poids des critères correspondants des niveaux supérieurs.

Exemple

En reprenant notre cas, nous obtenons le résultat suivant :

Critère de niveau 1

Critère de niveau 2

Poids final

Description

Poids

Description

Poids

Prix

67%

67%

Equipement

6%

GPS

88%

5,3%

Toit ouvrant

12%

0,72%

Habitabilité

27%

Nb de places

83%

22,4%

Taille du coffre

17%

4,6%

Par exemple, pour le GPS, on multiplie 6% par 88%.

8 – Evaluer et choisir 

Il ne nous reste plus qu’à évaluer nos différentes alternatives vis à vis de la matrice des critères pondérés que nous avons calculée précédemment. En effectuant l’évaluation et en multipliant les scores par la pondération, on pourra identifier le meilleur choix.

Le plus généralement, il nous suffira d’identifier l’alternative ayant la meilleure somme des notes pondérées. On pourra toutefois dans certain “ajuster” en utilisant le rang de chaque alternative sur chacun des critères.

En effet, dans certains cas, il est possible qu’une alternative ait la meilleure note globale sans pour autant être la mieux classée dans chacun des critères. On pourra alors peut être améliorer cette alternative en utilisant les atouts des autres alternatives.

Source

1 – T. L. (1980) – The analytic hierarchy process

2 – L. G. Vargas, T. L. Saaty (1991) – Prediction, projection and forecasting

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