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La fonction perte de Taguchi est le second volet de la philosophie. Elle fait le lien entre la technique et les de coûts de la qualité, permettant de définir les tolérances d’un système.

Introduction

La fonction perte est l’idée initiale de la conception robuste de Taguchi. Généralement, un intervalle de tolérance permet de définir si un produit est bon ou pas. Pour Taguchi, l’enjeu n’est pas seulement d’être dans l’intervalle, mais d’être au plus près de la cible. Il considère que le coût engendré par l’écart à l’optimal augmente de manière continue.

 Il part en effet du postulat que la perte (bon / pas bon) ne survient pas subitement comme si l’on tombe dans l’eau au bout d’un ponton.

Pour illustrer se phénomène, prenons la figure ci-contre :

  • Quelle est la différence entre la pièce 2 et 3 ? Aucune elles sont conformes.
  • Quelle est la différence entre la pièce 1 et 2 ? La pièce 1 n’est pas conforme.

Pourtant, techniquement parlant, il y a plus de différence entre 2 et 3 qu’entre 1 et 2. D’autant que la tolérance pourrait être légèrement décalée d’un côté ou de l’autre faisant pencher la balance.

Taguchi propose alors la solution suivante :

« Tout écart par rapport à l’objectif engendre une perte financière égale au carré de l’écart à l’objectif. » G. taguchi

Concrètement, le coût n’est pas considéré comme un coût direct de non qualité, mais comme une conséquence. Taguchi considère qu’à terme, la dispersion de nos résultats engendre des coûts indirects :

  • Le mécontentement du client
  • Des coûts de garantie plus élevés
  • Des coûts de SAV plus importants
  • Mauvaise image de marque…

L’intérêt de cette approche est de :

  • Comparer plusieurs fournisseurs qui ont des capabilités similaires.
  • Relier des notions techniques à des notions économiques.
  • Identifier des intervalles de tolérances sur la perception client.

1 – Le coefficient de la fonction perte

La fonction perte est dépendante d’une constante du système que l’on étudie. Ce coefficient se détermine par le rapport entre le coût engendré par une intervention et l’intervalle de tolérance connu. On pose :

  • A : Somme des coûts engendrés par une intervention de réparation, remplacement…
  • Δ : Tolérance de notre système. On retrouve 4 cas que nous détaillons dans le tableau ci-dessous :

 

 

La cible est le mieux et symétrique

Le plus petit est le mieux

Le plus grand est le mieux

La cible est le mieux mais asymétrique

Formule à utiliser

k = A  / Δ2

k = A  / Δ2

k = A  * Δ2

k+ = A0+ / Δ+2

k- = A0- / Δ-2

Valeur de A 

A 

A 

A 

Dans ce cas, le coût du dépassement par le haut ou le bas, peut être différent. On a donc :

A0+ = 200 € par exemple

A0- = 100 € par exemple

Valeur de l’intervalle de tolérance

Cible ± 0,3

Cible +0, +1,2 mais on cherche 0

Cible +10, +… mais on cherche +…

De la même manière, la tolérance, peut être différente selon que l’on soit en dessous ou au dessus de la cible. On peut avoir par exemple : Cible -0,2, +0,8

Valeur de Δ

0,3

1,2

10

Δ- = -0,2

Δ+ = 0,8

On suppose qu’au delà de ces tolérances, on génère de l’insatisfaction client, du remplacement, du rebut… Attention, on doit prendre ici l’ensemble des coûts sans se préoccuper de savoir qui paye (le client, l’entreprise, l’assurance…).

Exemple :

On suppose que la limite fonctionnelle permettant le bon fonctionnement est de ±0,3mm. On a calculé que le coût de remplacement de la pièce lorsque celle-ci dépasse les tolérances est de 20€. On obtient une constante k de 20/0,32 = 222.

2 – Le calcul de la fonction perte

Taguchi traduit la fonction perte en prenant en compte la constante et la distance entre notre valeur obtenue et la cible recherchée.

Cette approche économique des limites de tolérances et de la dispersion est un changement de culture. Pour Taguchi, il ne suffit pas que les pièces soient à l’intérieur des limites de tolérances. Il faut également une répartition centrée sur l’objectif avec une dispersion la plus faible possible.

Pour la calculer, nous allons utiliser les formules décrites ci-dessous.

Cas où le cible est le mieux « symétrique »

On est dans le cas le plus courant où nous allons chercher à être le plus près de la cible. La formule de la fonction perte est la suivante :

Pour un élément

Coût = k * (Y1 – Y )2

Pour un ensemble d’éléments

Coût = k * (σ2 + (μ –Y )2)

k : constante du système

Y1 : la valeur que nous avons de notre process

Y : la valeur cible que nous cherchons à atteindre et que l’on sait satisfaisant le client

σ2 : variance estimée à partir de l’échantillon

μ : moyenne des résultats obtenus par notre échantillon

Cas où le plus petit est le mieux

C’est les cas spécifique lorsque l’on étudie un taux de défauts ou des consommations d’énergies… On va rechercher à être le plus petit possible (idéalement 0) par rapport à la cible. La formule est :

Pour un élément

Coût = k * Y12

Pour un ensemble d’éléments

Coût = k * (σ2 + μ2)

k : constante du système

Y1 : la valeur que nous avons de notre process

Y : la valeur cible que nous cherchons à atteindre et que l’on sait satisfaisant le client

σ2 : variance estimée à partir de l’échantillon

μ : moyenne des résultats obtenus par notre échantillon

Cas où le plus grand est le mieux

Cas inverse du précédent, c’est le cas par exemple lorsque l’on étudie la résistance d’une soudure. Au plus la résistance sera grande au mieux c’est. On va rechercher à être le plus grand possible par rapport à la cible. La formule est :

Pour un élément

Coût = k * (1 / Y1)2

Pour un ensemble d’éléments

Coût = k * (1/n * Σ ((1/Yi)2))

k : constante du système

Y1 : la valeur que nous avons de notre process

σ2 : variance estimée à partir de l’échantillon

μ : moyenne des résultats obtenus par notre échantillon

Cas où la cible est le mieux « asymétrique »

C’est le cas spécifique du nominal est le mieux mais la tolérance est asymétrique. C’est le cas par exemple lorsque l’on étudie la variation de la température d’un frigo : trop froid, on congèlera les aliments, trop chaud, on aura une perte des aliments et surtout le risque de maladie. Les conséquences ne sont donc pas les mêmes et le coût engendré en dessous ou au dessus de la cible n’est pas le même. On va utiliser une formule « asymétrique » pour évaluer la fonction perte :

Pour un élément

Coût+ = k+ * (Y1 – Y )2 avec Y1 > Y 

Coût- = k- * (Y1 – Y )2 avec Y1 ≤ Y 

Pour un ensemble d’éléments

Coût+ = k+ * (σ2 + (μ –Y )2)

Coût- = k- * (σ2 + (μ –Y )2)

k+ et k- : constante du système au dessus et en dessous de la cible

Y1 : la valeur que nous avons de notre process en dessous ou au dessus de la cible

σ2 : variance estimée à partir de l’échantillon

μ : moyenne des résultats obtenus par notre échantillon

Une illustration

Un exemple bien connu est celui de Sony dans les années 1970. A cette époque, une étude fut menée sur la densité de couleur des télévisions. On a comparé les résultats entre les usines Japonaises et Américaines de Sony. La densité souhaitée était alors définie avec une tolérance de ± 5 par rapport à la cible. Les distributions des résultats sont les suivantes.

Source : M. S. Phadke (1989) – Quality engineering using robust design

 

On s’aperçoit que l’usine japonaise effectue une production qui suit une loi normale et elle induit environ 0,3% de défaut. A l’inverse, l’usine Américaine ne produit pas de défaut et la distribution des mesures est homogène autour de la moyenne.

L’étude sur les consommateurs a en réalité montré que les clients avaient une préférence pour les télévisions de l’usine Japonaise. La raison est que les clients préféraient les télévisions qui avaient la densité cible. Hors l’usine Japonaise en fabriquait beaucoup plus que l’usine Américaine.

En calculant le coefficient de proportionnalité k de la fonction perte, on s’aperçoit qu’il est de 8,35$ pour l’usine Japonaise et 25$ pour l’usine Américaine (Source : Journal Asahi Japon, 1979).

3 – Déterminer la tolérance

La fonction perte nous permet de déterminer les tolérances d’un élément ou d’un sous-ensemble. En fonction de la situation, nous allons être face à deux cas que nous détaillons ci-dessous via un exemple.

Cas 1 : la tolérance d’un élément

Prenons exemple de la tension d’un circuit. Nous savons qu’en sortie usine, nous pouvons calibrer les produits pour un coût de 2€. La tension nominale des appareils est de 230 Volts avec une tolérance de + ou – 20. Nous savons également que remplacer l’appareil nous coûte 100€.

Nous souhaitons savoir à partir de quel moment, il est pour nous « rentable » d’effectuer un calibrage.

3.1.1 – Déterminer la fonction k

On déterminé k en effectuant :

k = 100 / (250 – 230)2 = 0,25 € / Volt

3.1.2 – Déduire la tolérance

On va déterminer le niveau de rentabilité du calibrage. On effectue le calcul suivant :

Δ = ± √ (Coût / k) = ± 2,83 Volts

 

On conclue qu’en dessous d’un écart de 2,83 Volts en sortie usine, il n’est pas nécessaire d’effectuer un recalibrage, car cela ne serait pas rentable.

Cas 2 : La tolérance d’un sous-ensemble

Nous sommes dans le cas classique du concepteur. Nous sommes très souvent soumis à la situation suivante : notre société conçoit des imprimantes couleurs. Nous savons que la qualité de l’image est dépendante d’un paramètre (écartement du tube d’ancrage et du tambour) qui lui même est dépendant de la rectitude du tube d’ancrage, de la position du bloc terminal et de la position du tambour.

3.2.1 – Calculer la tolérance

L’équation générale permettant de calculer la tolérance est :

Δi = √ (Coûti/Coût ) * Δ  / βi

Avec :

  • Δi : Tolérance du composant i
  • Δ : tolérance du système dans sa globalité
  • Coûti : Coût de réparation et de remplacement de l’élément i
  • Coût : coût résultat du non respect de la tolérance du système
  • βi : Sensibilité de la réponse du système à la variation du composant i

 

Dans notre exemple, nous savons que le coût global engendré par un dépassement de la tolérance est de 500€, et que la tolérance du système qui est de 0,045. Pour les composants, nous avons les données suivantes avec lesquelles nous déduisons les tolérances de chacun des composants :

Coût en €

βi

Tolérance calculée Δi 

Rectitude du tube d’ancrage

22

7

± 0,0013

Position du bloc terminal

100

6,85

± 0,003

Position du tambour

44

6,5

± 0,002

3.2.2 – Valider la capabilité

Enfin, dernière étape du calcul, on va valider la capabilité de notre moyen de production grâce aux tolérances calculées. En utilisant les formules standards de la capabilité (Voix du client / Voix du process).

En reprenant l’exemple précédent, on obtient le tableau suivant :

Variabilité en fabrication (3σ) court terme

Capabilité Cp

Tolérance calculée Δi 

Rectitude du tube d’ancrage

0,0012

1,083

± 0,0013

Position du bloc terminal

0,0033

0,909

± 0,003

Position du tambour

0,0009

2,22

± 0,002

Seule la capabilité de fabrication du tambour est très bonne. Pour les 2 autres, il faut les mettre sous contrôle et mener des actions de progrès.

Source

W. Y. Fowlkes, C. M. Creveling (2000) – L’ingénierie robuste, méthodes Taguchi en conception

J. M. Buforn (2008) – Plans d’expériences, outils de modélisation et d’optimisation

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