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Les plans de Taguchi sont parmi les plus populaires dans l’industrie et particulièrement au sein des services de conception et de qualité.

Introduction

Les plans de Taguchi ont été développés dans une optique d’utilisation industrielle pour optimiser la conception des produits et améliorer la qualité. Ce sont en fait des plans factoriels fractionnaires, prenant en compte certaines interactions jugées importantes et en abandonnant d’autres. Contrairement aux plans fractionnaires, Taguchi propose des tables pour des résolutions III, IV et V.

Le principe

Taguchi propose d’organiser les expériences selon des tables que l’on appelle L8, L16… Les Tables de Taguchi sont des plans de Plackett et Burman dans lesquels on a remplacé +1 par 1 et –1 par 2… Les noms des plans ont également été traduit. Le plan 23est la Table L8 et le plan 24 est la Table L16.

1 – Choisir des interactions

Première étape, le choix des interactions. On procède par élimination :

  • On supprime les interactions que nous savons nulle.
  • On supprime les interactions d’ordre 3 et plus.
  • On garde celles que nous savons non nulles
  • Pour celles où nous avons des doutes, on choisi en fonction de nos ressources… si nous les gardons ou pas.

2 – Choisir la table

Il en existe 18 et sont identifiés par la forme Lg(pf) avec :

  • g : le nombre de ligne, c’est à dire le nombre d’expériences.
  • p : le nombre de niveaux, identique pour l’ensemble des facteurs sauf pour les tables avec un x.
  • f : le nombre de colonnes qui correspond au nombre de facteurs et d’interactions que nous souhaitons étudier.
  • x : le x indique que dans la même table il peut y avoir des facteurs avec un nombre de niveaux différents. On notera qu’ils peuvent aller jusqu’à 8 niveaux pour un facteur.

 

Les tables sont classées en 3 familles :

Usage Plan à 2 niveaux Plan à 3 niveaux Plan à 2 et 3 niveaux Plan à 4 et 5 niveaux
Etude des interactions impossibles Conviennent bien pour une phase de Screening. L12(211) L36(211x312)
Etude des interactions limitées Egalement pour Screening. L18(21x37) L32(21x49), L50(21x511)
Etude des interactions possibles Permettent de définir un modèle précis dans le cadre d’une étude pour surface de réponse le plus souvent. L4(23),  L8(27), L16(215), L32(231), L64(231) L64(263)

L9(34), L27(313),

 L36(313), L81(340)

L36(23x313), L54(21x325) L16(45), L64(421), L25(56)

2.1 – Choisir le nombre de colonne

Il faut chercher la table qui a un nombre de colonnes pour notre étude : c’est à dire celle qui au moins autant de colonnes que nous avons de facteurs et d’interactions à étudier.

Par exemple, nous souhaitons étudier 3 facteurs et seulement 2 interactions. Nous allons restreindre notre choix de table dont les études des interactions sont possibles et pour lesquels nous avons au moins 5 colonnes.

Il nous reste : L18(21x37), L32(21x49), L50(21x511), L8(27), L16(215), L32(231), L64(263), L27(313), L81(340), L36(23x313), L54(21x325), L16(45), L64(421), L25(56).

 

2.2 – Choisir le nombre de niveaux

Parmi les tables que nous avons présélectionnées, on va prendre celles qui ont un nombre de niveau « p » qui correspond à notre cas. Le nombre de niveau doit être identique pour tous les facteurs. Le cas contraire, il faudra choisir une table dont la dénomination contient un « x ».

En reprenant la suite de l’exemple, nous définissons que nous avons 2 niveaux par facteurs. Il nous reste donc L8(27), L16(215), L32(231), L32(231), L64(263)

 

2.3 – Choisir le nombre d’expériences 

Dernière étape, choisir le nombre d’expériences que l’on est près à faire. Bien entendu, plus on choisira d’expériences et plus nos résultats seront significatifs. Tout est donc histoire de compromis.

Reprenons notre exemple. Au regard des tables qu’il nous reste, nous avons le choix entre un plan nécessitant 8, 16, 32 ou 64 expériences.

 

Quelques conseils

La définition de la table n’est pas nécessairement exacte à notre problème. Seul le nombre de niveau doit être exact. Par exemple, on pourra très bien utiliser la table L8(27), pour étudier 4 facteurs à 2 niveaux et 2 interactions.

Par ailleurs :

  • Si nous avons 4 facteurs et que nous utilisons la table L8, il est préférable d’utiliser les colonnes 1, 2, 4, 7 ou 1, 3, 5, 7.
  • De la même manière, si nous avons choisi une table L16 pour étudier 5 facteurs, il sera préférable d’utiliser les colonnes 1, 2, 4, 8 et 15.
  • Enfin, si on a choisi une table L16 pour étudier 6, 7 ou 8 facteurs, il sera préférable d’utiliser les colonnes impaires ou les colonnes 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14.

 

3 – Construire la matrice d’expériences

L’apport de Taguchi repose sur la construction de graphique pour représenter le plan d’expériences permettant ainsi d’en simplifier la construction.

3.1 Construire le graphe

Le choix de l’affectation des colonnes aux facteurs et interactions va dépendre des graphiques qui accompagnent chacune des tables de Taguchi. On le construit de la manière suivante :

  1. On indique un nombre de points identique au nombre de facteurs.
  2. On affecte à chaque point une forme spécifique en fonction de la difficulté de modification du facteur (voir tableau ci-dessous)
  3. On va relier les points par une ligne pour représenter l’interaction que nous voulons étudier.

Difficulté de modification des niveaux

Symbole

Difficile, donc le nombre de changement de niveaux doit être faible.

Assez difficile, donc changement peu fréquent du niveau du facteur.

Assez facile.

Facile, donc changement fréquent du niveau du facteur.

Par exemple, dans le dessin ci-contre nous avons :

  • On souhaite étudier 5 facteurs.
  • On étudie que 2 interactions, CD et AC
  • Le facteur A est très compliqué à modifier, alors que les autres sont plutôt simples.

On note que pour les calculs et l’interprétation, les points n’ont aucune importance. Ils sont juste là pour mettre en avant les facteurs les plus compliqués à modifier pour les allouer aux premières colonnes du tableau (ils changent moins souvent de position).

3.2 Comparaison avec un graphe standard

On va comparer notre graphe avec les standards proposés par Taguchi. Dans notre cas, nous allons choisir la table L8 puisque nous avons 3 facteurs et 2 interactions à étudier et nous voulons faire le moins d’expériences possibles. Il y a 2 graphes qui accompagnent cette table.

Si l’on observe les interactions, on s’aperçoit que le graphe de droite est le plus approprié.

3.3 Affecter les facteurs aux colonnes

On va classer les facteurs par niveau de difficulté pour les modifier et les affecter aux colonnes de manière croissante. Reprenons l’exemple précédent :

  • On va directement positionner le facteur A à la colonne 1. C’est en effet ce facteur qui est le plus complexe à modifier, il est préférable pour gagner du temps de ne le faire qu’une fois.
  • On va arbitrairement mettre le facteur C en 2 car il est assez difficile à modifier.
  • Le facteur D en 4.

3.4 Affecter les interactions aux colonnes

Nous allons désormais positionner les interactions. Pour cela, la méthode demande l’utilisation de matrice triangulaire qui accompagne chacune des tables. Prenons l’exemple de la matrice triangulaire associée à la Table L8 :

Pour l’utiliser, on considère que le premier facteur se lit à la verticale et le second facteur se lit sur l’axe horizontal. La lecture dans notre cas est la suivante :

  • Le facteur A est associé à la colonne 1 et le facteur C à la colonne 2. Notre interaction AC est donc dans la colonne 3.
  • De même, le facteur C est associé à la colonne 2 et le facteur D à la colonne 4. L’interaction CD correspond à la colonne 6.

4. Effectuer les essais

Désormais nous sommes prêts pour mener les essais. Il faut suivre l’ordre indiqué puisque celui-ci a pris en compte le fait de gagner du temps dans les réglages.

5. Calculer les effets

Le calcul des effets s’effectue comme pour les autres types de plans d’expériences. On effectue la différence des moyennes des réponses en fonction de la position haute et basse du facteur.

Par exemple, nous avons le tableau de résultat suivant :

Facteur A

Facteur C

Interaction AB

Facteur B

Interaction AC

Réponse

1

1

1

1

1

8,3

1

1

1

2 2

7,7

1

2

2

1 1

8,1

1

2

2

2 2

8,2

2

1

2

1 2

8,65

2

1

2

2

1

8,9

2

2

1

1

2

8,5

2

2

1

2

1

9,2

Effet du facteur A = (8,65 + 8,9 + 8,5 + 9,2) / 4 – (8,3 + 7,7 + 8,1 + 8,2)/4 = 0,7375

Effet du facteur C = (8,1 + 8,2 + 8,5 + 9,2) / 4 – (8,3 + 7,7 + 8,65 + 8,9)/4 = 0,1125

Les résultats pour les autres sont :

  • Pour B : 0,1125
  • Pour AB : 0,00375
  • Pour AC : -0,3625

6. Valider la significativité

6.1 Les hypothèses

Comme dans tout test, l’étape initiale est de déterminer les hypothèses. Dans notre cas, nous exprimons les hypothèses sous la forme :

H0 : ax = 0

H1 : ax ≠ 0

6.2 Calcul des écarts SCE

Dans le cadre des plans Taguchi, le calcul des SCE diffère quelque peu des plans construits sur la base des matrices d’Hadamard. Mathématiquement, elles sont identiques mais le réarrangement des colonnes et des lignes diffère. Le calcul est donc quelque peu différent. La formule pour chaque facteur est la suivante

SCE = N * Effet2 / n

 Avec :

  • N : le nombre d’essai
  • n : le nombre de niveau du facteur
  • Effet : l’effet du facteur en question

6.3 Calcul des écarts totaux SCT

La formule de calcul est ici la même que pour les autres plans d’expériences. On effectue simplement la somme de la différence des écarts entre chacune des réponses et la moyenne, le tout au carré. L’expression est la suivante :

SCT = Σ (Yi – Ybarre)2

6.4 Déduction des résidus

Au contraire des autres types de plan où nous calculons les résidus sur les interactions, avec les plans d’expériences de Taguchi, on ne peut le faire. En effet, la répartition et le traitement des interactions étant très différents, on ne peut que déduire les résidus. La formule est la suivante :

SCR = SCT – Σ SCE

6.5 Calcul des carrés moyens

On poursuit le processus Anova et on calcule les Carrés Moyens. On les calcule de la manière suivante :

CMEx = SCEx / ddlx

CMR =SCR / ddlr

Avec :

  • CMEx : Carré Moyen de chacun des facteurs principaux
  • ddlx : degré de liberté de chacun des facteurs, toujours égal à 1 dans le cadre d’un plan de screening
  • CMR : Carré Moyen des résidus.
  • ddlr : degré de liberté des résidus, égal au nombre de ddl total – la somme des ddl des facteurs
  • ddl total : nombre de ddl au total. Il est égal au nombre d’expériences – 1

6.6 Calcul de la valeur pratique

Pour chacun des facteurs principaux, on va calculer une valeur pratique. Celle-ci se calcule via la formule suivante :

Valeur pratique = CMEx / CMR

L’interprétation est la suivante :

  • Valeur pratique > Valeur critique : On rejette H0, et on conclue que le facteur a une influence forte au sein du modèle.
  • Valeur pratique < Valeur critique : On retient H0, et on conclue que le facteur n’a pas d’influence sur le modèle.

6.7 Calcul de la p-Value

Nous pouvons calculer la p-Value qui va nous servir à évaluer l’influence de chacun des facteurs. Elle suit une loi de Fisher. Sous Excel, nous pouvons la calculer via la formule :

p-Value = LOI.F. (Valeur pratique ; ddlSCEx, ddlSCR)

L’interprétation est la suivante :

  • p-Value < α : le facteur est influent, il faut le retenir dans notre modèle.
  • p-Value > α : le facteur est peu influent, il faut le sortir de notre modèle

Source

G. Taguchi, Y. WU (1985) – Introduction to off-line quality control

G. M. Vigier (1988) – Pratique des plans d’expériences. Méthodologie Taguchi

J. C. Chauveau, J. P. Chassaing (1994) – Introduction à la méthode des plans d’expériences par la méthode Taguchi

Alexis et Alexis (1999) – Pratique industrielle des plans d’expériences

D. Duret, M. Pillet (2005) – Qualité en production

G. Taguchi, D. Clausing  (1990) – Robust quality

M. Pillet (1998) – Construire facilement des plans de résolution IV à partir des tables de Taguchi

R. N. Kacker, E. S. Lagergrenn, J. J. Filliben (1991) – Taguchi’s orthogonal arrays are classical designs of experiments

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