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Les plans produits sont une originalité de Taguchi. Ils croisent les matrices d’essais des facteurs principaux avec les bruits pour mettre en place un plan d’expériences qui permettra d’étudier la variabilité des résultats en fonction de ces facteurs non contrôlables.

Introduction

Les plans produit testent la robustesse d’un produit vis-à-vis des sources de « bruits ». Les bruits étant des fluctuations de caractéristiques, des variations dans l’environnement de travail, le vieillissement du produit étudié…

Taguchi propose d’utiliser ces sources de bruits comme facteurs pour planifier les expériences. Le rapport Signal / Bruit résultant permettra de rendre compte à la fois de la valeur moyenne et de la variabilité des données autour de la moyenne.

Les propriétés du ratio

Le rapport Signal / Bruit établit un rapport entre la moyenne de la réponse et le bruit (la dispersion de la réponse). Il permet d’isoler les effets de bruits sur la moyenne des réponses et ainsi de comprendre le comportement de notre système vis-à-vis des facteurs non contrôlables.

1 – Choisir les interactions et la table des facteurs contrôlables

Dans un premier temps, on va construire la matrice des essais sur la base des facteurs contrôlables. On va suivre pour cela le processus « standard » de la construction d’un plan de type Taguchi.

2 – Choisir la table des facteurs bruits

De la même manière que pour les facteurs contrôlables, on va choisir la table la mieux appropriée pour les facteurs de bruit. Dans le cas où le nombre d’expériences pour les bruits est supérieur au nombre d’expériences pour les facteurs, alors on utilisera la méthode des bruits composites. Cette méthode consiste à effectuer une expérience uniquement sur les facteurs de bruits pour déterminer une ou plusieurs combinaisons des facteurs et ainsi transformer par exemple 9 bruits en 3 groupe de bruits.

Exemple :

On étudie l’abaissement de la température de l’eau dans le verre avec l’ajout d’un glaçon. On a identifié 3 bruits que sont la localisation du thermomètre, le temps et la quantité d’eau. On réalise un plan d’expériences selon la table L4 de Taguchi. Les essais montrent que la température minimale de l’eau est obtenue avec 2 combinaisons que sont la position du thermomètre et le temps au niveau haut et la quantité d’eau au niveau bas.

On décide de mettre en place « un » bruit a 2 niveaux. On réduit le nombre de répétition d’essai initialement à 4 à 2.

3 – Mettre en place le plan produit

Le principe est simple, on va croiser la matrice des facteurs contrôlés avec la table des facteurs bruits. Cela nous donne un système de ce type :

On observe qu’on effectue des répétitions d’essais du plan principal, qui sont de « fausses répétitions » puisqu’elles sont planifiées avec des niveaux différents des facteurs bruits.

4 – Effectuer les expériences

Le déroulement s’effectue de la même manière que pour les plans d’expériences. Il faut que les conditions soient les mêmes, que le moyen de mesure n’évolue pas entre les expériences…

Toutefois, au regard de la répétition des essais, il est nécessaire que les essais d’une même combinaison des facteurs principaux ne soient pas faits les uns après les autres.

5 – Calculer les ratios Signal / Bruit

Le calcul s’effectue pour chaque combinaison du plan. La formule va dépendre de 3 cas que nous détaillons ci-dessous. On notera simplement que ce coefficient n’a en soit pas d’unité mais qu’on l’exprime en décibel.

Cas d’un critère à minimiser

Dans le cas où le plus petit est le mieux, la formule est :

S/N = – 10 * Log (1/n * Σ yi2)

Cas d’un critère à maximiser

Dans le cas où, le plus grand est le mieux, la formule est :

S/N = – 10 * Log (1/n * Σ 1/yi2) = -10 * Log ((1 + 3 * Variance/Yibarre2)/Yibarre2)

Avec :

  • Variance de l’échantillon = Σ ((Yi – Ybarre)2 / (n – 1))
  • Yibarre : Moyenne de l’ensemble des réponses pour le i essais
  • n : le nombre de mesures par essai
  • Ybarre : moyenne de l’ensemble des réponses de tous les essais

Cas d’un critère à la valeur nominale

Dans ce cas, notre optimal est lorsque nous sommes à la cible. La formule est :

S/N =  10 log (Yibarre2 / Variance)

Avec :

  • n : le nombre de mesures par essai
  • Variance de l’échantillon = Σ ((Yi – Ybarre)2 / (n – 1))
  • Ybarre : moyenne de l’ensemble des réponses de tous les essais

Cas d’un critère à la valeur cible

Dans ce cas, notre optimal est lorsque nous sommes à la cible. La formule est :

S/N =  -10 log (Variance +  (Yibarre – Cible)2)

Avec :

  • n : le nombre de mesures par essai
  • Variance de l’échantillon = Σ ((Yi – Ybarre)2 / (n – 1))

6. Valider la significativité

6.1 Les hypothèses

Comme dans tout test, l’étape initiale est de déterminer les hypothèses. Dans notre cas, nous exprimons les hypothèses sous la forme :

H0 : ax = 0

H1 : ax ≠ 0

6.2 Calcul des écarts SCE

Dans le cadre des plans Taguchi, le calcul des SCE diffèrent quelque peu des plans construits sur la base des matrices d’Hadamard. Mathématiquement, elles sont identiques mais l’arrangement des colonnes et des lignes est différent. La formule pour chaque facteur est la suivante :

SCE = N * (Effet/n)2

 Avec :

  • N : le nombre d’essai
  • n : le nombre de niveau du facteur
  • Effet : l’effet du facteur en question

6.3 Calcul des écarts totaux SCT

La formule de calcul est la même que pour les autres plans d’expériences. On effectue la somme de la différence des écarts entre chacune des réponses et la moyenne, le tout au carré. L’expression est la suivante :

SCT = Σ (Yi – Ybarre)2

6.4 Déduction des résidus

Au contraire des autres types de plan, où nous calculons les résidus sur les interactions, avec les plans d’expériences de Taguchi, on ne peut pas le faire. En effet, la répartition et le traitement des interactions étant très différent, on ne peut que déduire les résidus. La formule est la suivante :

SCR = SCT – Σ SCE

6.5 Calcul des carrés moyens

On poursuit le processus Anova et on calcule les Carrés Moyens. On les calcule de la manière suivante :

CMEx = SCEx / ddlx

CMR =SCR / ddlr

Avec :

  • CMEx : Carré Moyen de chacun des facteurs principaux
  • ddlx : degré de liberté de chacun des facteurs, toujours égal à 1 dans le cadre d’un plan de screening
  • CMR : Carré Moyen des résidus.
  • ddlr : degré de liberté des résidus, égal au nombre de ddl total – la somme des ddl des facteurs
  • ddl total : nombre de ddl au total. Il est égal au nombre d’expériences – 1

6.6 Calcul de la valeur pratique

Pour chacun des facteurs principaux, on va calculer une valeur pratique. Celle-ci se calcule via la formule suivante :

Valeur pratique = CMEx / CMR

L’interprétation est la suivante :

  • Valeur pratique > Valeur critique : On rejette H0, et on conclue que le facteur a une influence forte au sein du modèle.
  • Valeur pratique < Valeur critique : On retient H0, et on conclue que le facteur n’a pas d’influence sur le modèle.

6.7 Calcul de la p-Value

Nous pouvons calculer la p-Value qui va nous servir à évaluer l’influence de chacun des facteurs. Elle suit une loi de Fisher. Sous Excel, nous pouvons la calculer via la formule :

p-Value = LOI.F. (Valeur pratique ; ddlSCEx, ddlSCR)

L’interprétation est la suivante :

  • p-Value < α : le facteur est influent, il faut le retenir dans notre modèle.
  • p-Value > α : le facteur est peu influent, il faut le sortir de notre modèle

7 – Analyse des données

L’analyse des données se fait sur l’analyse de la significativité : on ne prendra pas en compte les facteurs peu significatifs. Le pertinence de l’interprétation suit la significativité : au plus la valeur de l’effet d’un facteur est distant de 0, au plus celui-ci a d’influence et au plus la lecture du ratio S/N associé est important.

L’analyse repose sur une comparaison des moyennes des résultats en fonction des niveaux des facteurs. Quelque soit le cas, minimisation, maximisation, cible ou nominale, on cherchera toujours le ratio Signal / Bruit le plus élevé. Puisque au moins il y a de bruits qui interviennent sur la moyenne, au plus le ratio est grand. Autrement dit, au plus le ratio est grand, au moins les bruits ont d’effet.

Source

G. Taguchi, Y. WU (1985) – Introduction to off-line quality control

G. M. Vigier (1988) – Pratique des plans d’expériences. Méthodologie Taguchi

J. C. Chauveau, J. P. Chassaing (1994) – Introduction à la méthode des plans d’expériences par la méthode Taguchi

Alexis et Alexis (1999) – Pratique industrielle des plans d’expériences

R. A. Wysk, B. W. Niebel, P. H. Cohen, T. W. Simpson (2000) – Manufacturing processes : integrated product and process design

A. Jacques (1995) – Pratique industrielle de la méthode Taguchi

G. Lasnier (2003) – Plans d’expériences industrielle

A. C. Tahhane (2009) – Statistical analysis of designed experiments

W. Y. Fowkles (2000) – l’ingénierie robuste

K. Yang, Basem El-Haik (2003) – Design for Six Sigma

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