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La méthode par l’analyse de la variance est la méthode la plus précise. Elle a pour avantage de prendre en compte l’interaction qu’il peut avoir entre les opérateurs et la pièce.

Introduction

L’intérêt de la méthode Anova vis-à-vis de la méthode des moyennes et étendues, repose sur le fait qu’elle calcule l’interaction qu’il peut y avoir entre les opérateurs et les pièces.

L’exemple typique de ce type d’interaction est le cas des petites pièces. Nous souhaitons par exemple mesurer des pièces de quelques millimètres seulement. Nous procédons à un test Gage R&R via 3 opérateurs différents. L’un d’entre eux à quelques problèmes de vision et voit moins bien les pièces que les autres. Il y a fort à parier que lors de l’analyse, il va ressortir qu’il y a bien une interaction opérateur / pièce, puisque l’un d’entre aura des mesures sans doute différentes des autres.

Le principe

L’utilisation de l’Anova pour le calcul de la précision d’un moyen de mesure repose sur la comparaison de la moyenne des différents groupes de mesure avec la moyenne générale. On calcule :

  • Variance intergroupe (expliquée) : différence entre la moyenne de chaque groupe et la moyenne générale. Dans notre cas, on retiendra que nous avons 3 groupes différents : Les opérateurs, les pièces et l’interaction opérateurs / pièces.
  • Variance intragroupe (résiduelle) : différence entre la valeur de chaque individu et la moyenne du groupe. Elle correspondra à la Variance dû à l’erreur de l’instrument de mesure.
  • Variance Totale : Différence entre la valeur de chaque individu et la moyenne générale.

 

L’ANOVA se présente sous forme de tableau synthétisant l’ensemble des résultats des calculs que nous présentons ci-dessous.

Source de variabilitéSomme des carrés des écartsDDLMoyenne des carrésValeur pratiqueValeur critiqueP-Value
OpérateurSCE OpéA - 1CME OpéCME Opé / CMRFisherFisher
PiècesSCE PcsB - 1CME PcsCME Pas / CMR
Interaction opérateurs / piècesSCE Inter(A - 1) * (B - 1)CME InterCME Inter / CMR
Erreur du moyen de mesureSCRA * B * (n - 1)CMR-
Variabilité totaleSCTN - 1-

Avec :

  • A : Nombre d’opérateurs
  • B : Nombre de pièces
  • n : nombre de mesure par opérateur et par pièce
  • N : nombre total d’essai

1 – Calculer les sommes carrés des écarts – SCE…

On commence par calculer la somme carrée des écarts des différents groupes. Elle consiste à calculer l’écart des valeurs de chaque groupe par rapport à la moyenne de l’ensemble des groupes. On cherche à savoir si la moyenne des différents groupes est éloignée de la moyenne générale. Ainsi si cette valeur est grande, la variabilité entre les moyennes sont importantes et nous emmène à rejeter l’hypothèse nulle. Autrement dit, les échantillons sont différents.

Pour les opérateurs : SCE Opé = Σ (Ya2/(B*n)) – Σ Y2/N

Pour les pièces : SCE Pcs = Σ (Yb2/(A*n)) – Σ Y2/N

Pour l’interaction : SCE Inter = Σ (Yab2/n) – Σ Y2/N – SCE Opé – SCE Pcs

Pour les résidus : SCR = SCT – SCE Opé – SCE Pcs – SCE Inter 

Avec :

  • Ya : chacune des valeurs pour le a opérateurs
  • Yb : chacune des valeurs pour la b pièces
  • Yab : chacune des valeurs du a opérateurs pour la b pièces
  • Y : chacune de l’ensemble de valeurs de tous les opérateurs et de toutes les pièces

2 – Calculer la Somme des Carrés des Totale – SCT

Elle représente la variation totale de nos mesures. Elle se calcule en comparant la somme des valeurs de chacune de valeurs à la moyenne de l’ensemble des mesures.

SCT = Σ Y2Σ Y2/N

3 – Calculer la somme des carrés des Résidus – SCR

La variance résiduelle représente réellement la variabilité due à l’instrument de mesure. Elle se déduit des autres valeurs via la formule suivante :

SCR = SCT – SCE opé – SCE Pcs – SCE Inter

4 – Calculer les carrés moyens

Les carrés moyens représentent le “poids” que l’on peut donner à chacune des variabilités. Ils se calculent en faisant le rapport avec les ddl. Chacun des carrés moyens se calcule en effectuant le rapport entre la somme carrée des écarts et les degrés de liberté correspondant, soit :

CME Opé = SCE Opé / (A – 1)

CME Pcs = SCE Pcs / (B – 1)

CME Inter = SCE Inter / ((A – 1) * (B – 1))

CMR = SCR / ((A*B * (n – 1))

5 – Effectuer le test d’hypothèse

Effectuer le test d’hypothèses Anova n’est pas nécessaire dans le cas d’une étude Gage R&R. En effet, l’interprétation de ce type d’analyse s’effectue via des coefficients spécifiques au Gage R&R.

Toutefois, si l’on souhaite calculer les valeurs pratiques, critiques et la p-Value, les formules de calcul et leur interprétation sont strictement identiques à un test classique.

6 – Calcul de la répétabilité – EV

La répétabilité représente la capacité du moyen de mesure à mesurer la même caractéristique et à obtenir le même résultat. On la calcule de la manière suivante :

EV = √ CMR

7 – Calcul de l’interaction

L’interaction se mesure en faisant la différence entre le poids de l’interaction et les résidus. La formule est la suivante :

Interaction = √ (CME inter – CMR) / n

8 – Calcul de la reproductibilité – AV

La reproductibilité se compose de la différence entre la variabilité de l’opérateur et son interaction avec les pièces. On la calcule de la manière suivante :

Interaction = √ ((CME Opé – CME Inter) / (B * n) + Interaction2)

9 – Calcul du Gage R&R

La dispersion globale de l’équipement se calcule selon la formule suivante :

Gage R&R = √ (AV2 + EV2)

10 – Calcul la variabilité des pièces – PV

La dispersion due à la variabilité des pièces, en excluant l’effet de l’erreur de mesure, se calcule selon la formule suivante :

PV =  ((CME Pcs – CMR) / (A * n)

11 – Calcul de la variabilité totale – TV

La Variation Totale correspond à la variabilité de l’ensemble des éléments, équipement, homme, pièces et interaction. Elle se calcule selon la formule suivante :

TV = √ (Gage R&R2 + PV2)

Source

F. Bergeret, S. Mercier (2011) – Maîtrise statistique des procédés

D. Drain (1996) – Statistical methods for industrial process control

C. D. Montgomery (2009) – Statistical Quality Control

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